3次式の因数分解の方法は？──因数定理・公式・たすきがけの使い分けを知りたい

3 次式の因数分解の方法を確認しよう

3 次式の因数分解は、2 次式よりも複雑ですが、いくつかの基本的な方法を身につければ、多くの問題を解くことができます。重要なのは、式の形を見て適切な方法を選ぶことです。

ここでは、3 次式の因数分解の主要な方法とその使い分けをまとめました。

ひと目でわかる"3次式の因数分解方法早見表"

因数分解の方法選択フロー

優先順位:

① 共通因数はないか？ → あればくくり出す

② 立方の公式が使えるか？ → a³±b³ の形なら公式

③ 因数定理を使う → 最も汎用的

④ 特殊な形 → グルーピング、置き換えなど

方法1: 因数定理を使う (最も汎用的)

因数定理は、3 次式の因数分解で最も重要な方法です。ほとんどの問題で使えます。

例題: x³-6x²+11x-6 を因数分解せよ

解答・解説

【ステップ1】解の候補を探す

定数項 -6 の約数: ±1, ±2, ±3, ±6

最高次係数 1 の約数: ±1

候補: ±1, ±2, ±3, ±6

【ステップ2】小さい値から試す

f(1)=1-6+11-6=0

よって (x-1) は因数

【ステップ3】与えられた式を因数で割る

f(x)=x³-6x²+11x-6=(x-1)(x²-5x+6)

【ステップ4】商を因数分解

x²-5x+6=(x-2)(x-3)

【ステップ5】完全な因数分解

f(x)=(x-1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)

答: (x-1)(x-2)(x-3)

方法2: 公式を使う

立方の和の公式

a³+b³=(a+b)(a²-ab-b²)

例: x³+8 を因数分解せよ

x³+8=x³+2³=(x+2)(x²-2x+4)

答:(x+2)(x²-2x+4)

注意:x²-2x+4 はこれ以上因数分解できません (判別式 D=4-16=-12<0)

立方の差の公式

a³-b³=(a-b)(a²+ab-b²)

例: x³-27 を因数分解せよ

x³-27=x³-3³=(x-3)(x²+3x+9)

答:(x-3)(x²+3x+9)

公式の覚え方:

• 和と差で符号が変わる
• 立方の和: (a+b)(a²-ab+b²) 符号は「-+」
• 立方の差: (a-b)(a²+ab+b²) 符号は「++」

方法3: グルーピング (項のまとめ方)

項を適切にまとめることで、共通因数を見つけやすくする方法です。

例題: x³+3x²-4x-12 を因数分解せよ

解答・解説

【ステップ1】項をグループ化

x³+3x²-4x-12=(x³+3x²)+(-4x-12)

【ステップ2】各グループから共通因数を取り出す

=x²(x+3)-4(x+3)

【ステップ3】(x+3) をくくり出す

=(x+3)(x²-4)

【ステップ4】x²-4 を因数分解

=(x+3)(x+2)(x-2)

答:(x+3)(x+2)(x-2)

グルーピングのコツ:

• 前 2 項と後 2 項でまとめる
• 前 3 項と後 1 項でまとめる場合もある
• 共通因数が現れるようにまとめる

係数が 1 でない場合 (ax³の形)

最高次係数が 1 でない場合、解の候補の探し方が少し変わります。

例題: 2x³-3x²-3x+2 を因数分解せよ

解答・解説

【ステップ1】解の候補を探す

有理数解の候補

定数項 2 の約数: ±1, ±2

最高次係数 2 の約数: ±1, ±2

候補:

【ステップ2】試す

f(2)=2・8-3・4-3・2+2=16-12-6+2=0

よって (x-2) は因数

【ステップ3】与えられた式を因数で割る

f(x)=2x³-3x²-3x+2=(x-2)(2x²+x-1)

【ステップ4】商を因数分解

2x²+x-1=(2x-1)(x+1)

【ステップ5】完全な因数分解

f(x)=2x³-3x²-3x+2=(x-2)(2x-1)(x+1)

答:(x-2)(2x-1)(x+1)

勉強の進め方と練習方法のアドバイス

• まず共通因数を確認: 因数分解の最初のステップは必ず共通因数の確認です。これを見落とすと、その後の計算が複雑になります。
• 立方の公式を覚える: a³±b³ の形はすぐに公式が使えるよう、暗記しておきましょう。符号のパターン (和は「-+」、差は「++」)も覚えます。
• 小さい整数から試す: 因数定理を使う場合、±1, ±2, ±3, ・・・ と小さい値から順に試します。多くの問題で早く見つかります。
• 完全に因数分解する: 二次式が残ったら、さらに因数分解できないか必ず確認します。因数定理、公式、たすきがけを使います。
• 必ず検算する: 因数分解した結果を展開して、元の式に戻るか確認しましょう。これが最も確実な検算方法です。

練習は、たとえば「入門問題 2 題→標準問題 3 題→実戦問題 2 題→仕上げの小テスト 10問」といった順で進めると、理解が深まるはずです。

間違えた問題は、原因別に整理します (公式の符号ミス / 因数定理の候補不足 / 組立除法のミス / 完全に因数分解しないなど)。翌日に同じタイプの問題を1問だけ解き直すことで、ミスの再発を防げます。

3 次式の因数分解と関連するその他の重要知識

3 次式の因数分解ができるようになると、高次方程式や複雑な式変形の理解が一気に深まります。ここでは、次のステップとして押さえておきたい重要な知識を確認していきましょう。

• ３次方程式の解法: 因数分解した結果を使って、3次方程式を解くことができます。
• 因数定理と剰余定理: 因数分解の理論的背景を理解すると、より深く使いこなせます。
• 高次式の因数分解: 4 次以上の式も、同様の考え方で因数分解できます。
• 複素数の範囲での因数分解: 実数で分解できない式も、複素数の範囲では分解できる場合があります。

余裕があれば、対称式の因数分解や、置き換えを使った高度な因数分解にも挑戦してみましょう。

まとめ｜3 次式の因数分解のポイント

ここまでの内容を振り返り、押さえておくべき 3 次式の因数分解のポイントを整理しましょう。

3 次式の因数分解には複数の方法がある

優先順位:

1. 1. 共通因数をくくり出す
2. 2. 立方の公式 (a³±b³) が使えないか確認
3. 3. 因数定理を使う (最も汎用的)
4. 3. グルーピング、置き換えなど特殊な方法

汎用的手法(因数定理):

• 解の候補を試す (±1, ±2, ±3, ・・・)
• f(a)=0 となる a を見つける
• 組立除法で (x-a) で割る
• 商の二次式を因数分解

重要な公式:

• a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
• a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

よくある間違いと対策:

• 共通因数の見落とし → 最初に必ず確認
• 立方公式の符号ミス → 「和は-+、差は++」
• 因数分解が不完全 → 二次式も分解
• 検算を怠る → 展開して確認

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