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【数と式】対称式はどんなとき使うんですか？

対称式はどんなとき使うんですか？

（２）で(x+y)^2=x^2+2xy+y^2　の1行目の式変形をしているのはどうしてですか？
対称式の説明も読んだのですが、よくわかりません。

進研ゼミからの回答！

こんにちは。がんばって勉強に取り組んでいますね。
いただいた質問について、さっそく回答させていただきます。

【質問の確認】

【問題】

x=√5+√3 ,y=√5-√3のとき，次の式の値を求めよ。x=√5+√3 ,y=√5-√3のとき，次の式の値を求めよ。

（１）x+y，xy　（２）x2+y2　（３）x3 y+xy3

について、

【解答解説】から抜粋部分

（２） (x+y)2=x2+2xy+y2 より
・・・・・・・

上記のように、1行目の式変形をしているのはどうしてなのか、
対称式の説明を読んでも、よくわからなかった、とのご質問ですね。
さっそく確認していきましょう。

【解説】

「1行目の式変形をしているのはどうしてなのか」ということですが「その方が簡単に計算ができるから」です。
値を求める問題では、計算に手をつける前に、まず「式の特徴」をつかみましょう。
それによって、効率のよい方針が見つかることがあります。
この問題で値を求めたい式は、対称式と呼ばれる特徴のある式なのです。

「x，y を入れ換えても、もとの式と同じになる式」をx，y についての対称式という。

(2)のx2+y2 という式は, x，y を入れ換えても, y2+x2=x2+y2　となり、同じ式になります。
つまり対称式といえますね。
対称式には次のような性質があります。

x，y についての対称式は基本対称式　x+y，xy　で表すことができる。

そこでx，y についての対称式の値を求めるような問題では、次の手順が定石となります。

（ⅰ）まず、基本対称式　x+y，xy　の値を計算する。

（ⅱ）与えられた対称式を基本対称式で表す。

（ⅲ）（ⅱ）の式に（ⅰ）の結果を代入する。

では、（２）を上の定石にあてはめてやってみましょう。

⇒（１）でx+y，xy　の値を求めるようになっていたのも、あとの問題を計算するための誘導だったわけです。

このあたりも実は方針立てのヒントになっているので、問題を解くときは、問題文自体にもアンテナを張っておくといいですよ。

同様に（３）の問題にも挑戦してみましょう。
x，yに直接値を代入するより、はるかに楽に計算できますよ。
x，yが複雑な値であるほど、計算する式が複雑であるほど、この方針での計算が有効になります。
ぜひこの機会に対称式の性質をマスターしておきましょう。

【アドバイス】

計算問題において、問題を解く方針を立てるとき、まず「式の特徴」をつかむことは、
効率よく解くためにとても有効です。式の特徴にあったワザを身につけておくと
これから色々なシーンできっと役に立つので、１つひとつマスターしていきましょう。
効率のよい解法は、時間の短縮だけでなく、計算ミスの防止にもつながりますよ。

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※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

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対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
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常時接続可能なブロードバンド（光ファイバなど）環境と、無線LAN（Wi-Fi）環境をご用意ください（10Mbps以上を推奨）。
  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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