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【数と式】２重根号の計算

２重根号の計算

√の中に√ がある式 (例えば，√5−2√6 ) は，この後どうやって計算したらよいですか。

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

√の中に√がある式 (例えば，(5-2√6) )は，この後どうやって計算したらよいですか。
というご質問ですね。

【解説】

のように，√の中に√を含んでいる式のことを ２重根号といいます。

≪解き方≫

√(5-2√6) のような２重根号の中には，さらに簡単な形に計算を進められるものがあります。具体的には，

と，計算することができます。

≪計算の手順≫

①　√(○±2 √□) の形に変形する。（内側の √ の係数を「2」にする）

②　足して○，掛けて□となる正の数a，bを見つける。

③　式変形する。（ √ の中を(　)2の形に変形し，平方根の性質「a≧0のとき，√(a^2) ＝ a」を利用して，２重根号をはずす。）

ただし，すべての2重根号がはずせるわけではなく，「足して○，掛けて□となる」正の数a，bが見つからないこともあります。

【 例 】

【注意】

√(○−2√□) の場合も，基本的には同じですが，a＞b＞0 となるように気をつけなくてはいけません。
つまり，√(9-6√2) ＝ √((√6)^2+(√3)^2+2√6 √3) の後，√((√6-√3)^2) と考えるか，√((√3-√6)^2) と考えるかに気をつけるということです。

としてしまったとします。Bまでは正しい変形です。
このBからCへの変形が誤りであることがわかりますか？

√(9-6√2) は負にならないはずですが，√3 −√6 が負になってしまっているのです。 √(9-6√2) は負にならないはずですが，√3 −√6 が負になってしまっているのです。

つまり，Bまで求めたところで，

とすればよいのです。

このようなミスを防ぐために，

√((a+b)−2√ab) のときは，a＞b＞0 √((a+b)−2√ab) のときは，a＞b＞0

ということを覚えておいて，あらかじめ，a＞b＞0となるようa，b を決めておくとよいでしょう。

【アドバイス】

√の中に√を含んでいる２重根号をはずすには，√の中が(　　)2の形，すなわち，，の形ができるように変形することがポイントです。
(　　)2の形に変形するには，A2+2AB+B2 = (A+B)2，A2-2AB+B2 = (A-B)2 の因数分解を利用するので，あわせて復習しておきましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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  • 2016年2月時点。
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    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
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