【数と式】2重根号の計算

2重根号の計算

√の中に√ がある式 (例えば,√5−2√6 ) は,この後どうやって計算したらよいですか。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

√の中に√がある式 (例えば,(5-2√6) )は,この後どうやって計算したらよいですか。
というご質問ですね。

【解説】

のように,√の中に√を含んでいる式のことを 2重根号といいます。

≪解き方≫

√(5-2√6) のような2重根号の中には,さらに簡単な形に計算を進められるものがあります。具体的には,

と,計算することができます。

≪計算の手順≫

① √(○±2 √□) の形に変形する。(内側の √ の係数を「2」にする)

② 足して○,掛けて□となる正の数abを見つける。

③ 式変形する。√ の中を( )2の形に変形し,平方根の性質「a≧0のとき,√(a^2)a」を利用して,2重根号をはずす。)

ただし,すべての2重根号がはずせるわけではなく,「足して○,掛けて□となる」正の数abが見つからないこともあります。

【 例 】

【注意】

√(○−2√□) の場合も,基本的には同じですが,ab>0 となるように気をつけなくてはいけません。
つまり,√(9-6√2)√((√6)^2+(√3)^2+2√6 √3) の後,√((√6-√3)^2) と考えるか,√((√3-√6)^2) と考えるかに気をつけるということです。

としてしまったとします。Bまでは正しい変形です。
このBからCへの変形が誤りであることがわかりますか?

√(9-6√2)  は負にならないはずですが,√3 −√6 が負になってしまっているのです。 √(9-6√2)  は負にならないはずですが,√3 −√6 が負になってしまっているのです。

つまり,Bまで求めたところで,

とすればよいのです。

このようなミスを防ぐために,

√((a+b)−2√ab)  のときは,a>b>0 √((a+b)−2√ab)  のときは,a>b>0

ということを覚えておいて,あらかじめ,ab>0となるようab を決めておくとよいでしょう。

【アドバイス】

√の中に√を含んでいる2重根号をはずすには,√の中が(  )2の形,すなわち,の形ができるように変形することがポイントです。
(  )2の形に変形するには,A2+2AB+B2 = (A+B)2A2-2AB+B2 = (A-B)2 の因数分解を利用するので,あわせて復習しておきましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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