【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由

【質問の確認】

条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
というご質問ですね。

【解説】

・「 p ⇒q 」が真であるということ
・ ⊂，⊃の記号の使い方，すなわち，集合の包含関係
を理解すれば，わかるようになります。
「命題の真偽」と「集合の包含関係」は，一見違うことに思われますが，実は同じことなのです。
集合のベン図をかくことによって，このことを考えてみましょう。

≪命題の真偽をベン図に表す≫
まず，命題の真偽について確認しましょう。

「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。

≪包含関係をベン図で表す≫
集合のベン図と⊂，⊃の記号の関係を確認しましょう。

すなわち，（含まれる方）⊂（含む方）となります。
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。

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【例1】
命題「４の倍数⇒２の倍数」は真なので，（４の倍数全体の集合）⊂（２の倍数全体の集合）となっています。

【例2】
命題「 」において，例えば，x ＝ −2 は を満たしますが，(−2)² ≦ 3 を満たしません。したがって，この命題は偽と言えますね。 を満たす実数x全体の集合を X ， x²≦3，つまり， を満たす実数x 全体の集合を Y としたとき，X⊃Yであって，X⊂Y は成り立たないのです。

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★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。

【アドバイス】

「 p ⇒q 」が真　のとき　P⊂Qにおいて，⇒と⊂の関係を覚えておきましょう。
このとき，下のような集合のベン図をかいてPからどんな要素をとっても，それはQの要素になる，すなわち， P⊂Qとなると理解しておくとよいでしょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。