因数分解はどうやればいい？

因数分解を進める基本ステップ

因数分解は毎回 “当てずっぽう” で考えるのではなく、3つのステップにそろえて判断すると安定して解けます。どんな式でも、この順番で処理すれば迷いません。

Step1：最初に必ず共通因数でくくる

どんな因数分解でも、最初に確認するのは共通因数です。

• 全ての項に共通する数や文字があるなら必ずくくる
• 係数が小さくなり、後の作業（たすき掛けや平方差）が圧倒的に楽になる
• これを省くと、問題が一気に難問化する

例：
6x² - 9x → 3x(2x - 3)

まずここを成功させると、その後の判定が一気にスムーズになります。

Step2：式の“型”を見分ける

共通因数で軽くしたら、次にどの公式（型）で因数分解できる式かを判定します。

高校数学でよく使う型は次の5つです。

• 平方差 A² - B²
• 完全平方 x² + px + q
• たすき掛け（整係数の2次式）
• 3乗の和差
• 置換（x² = t などで次数を下げる）

どの型に当てはまるかを “上から順に” チェックすれば、複雑そうに見える式でも自然と使う公式が決まります。

Step3：必ず展開して検算する

因数分解は最後の検算が正しさの決め手です。

• 一度因数分解した式を展開して元に戻るか確認する
• 特に 2 次式では “交差してかけたものの和=中項の係数b ” を口に出すとミスに気づきやすい
• 置換を使った場合は元の文字に戻してから検算する

検算もセットで行うことで、符号ミス・因数の取り違え・戻し忘れを防止できます。

よく使う因数分解の型（一覧＋例つき）

因数分解は、共通因数で軽くしたあと、“どの型に当てはめるか” で一気に進めやすくなります。高校数学で頻出の型を、使いどころ・典型例・NG例つきで整理します。

型	使える形 / 条件	典型例	NG・注意点
① 共通因数	全項に共通する数・文字がある	6x2 - 9x → 3x(2x - 3)	くくらずにたすき掛けへ進むと係数が大きくなり難化
② 平方差	A2 - B2	x2 - 16 → (x - 4)(x + 4)	A2 + B2は実数の範囲では因数分解できない
③ 完全平方	x2 + px + q が (x + a)2 にできる	x2 + 6x + 9 → (x + 3)2	x2 + 6x + 10は不可 （+q が合わない）
④ たすき掛け	ac の因数ペアで b が作れる	6x2 + 11x + 3 → (3x + 1)(2x + 3)	30秒以内に決まらなければ一度立ち止まる
⑤ 3乗の和差		x3 - 8 → (x - 2)(x2 + 2x + 4)	中の式の符号を書き間違えやすい
⑥ 置換（次数下げ）	x2 = t等に置くと2次になる	x4 - 5x2 + 6 → t2 - 5t + 6	元の文字に戻し忘れると0点
⑦ 多変数の整理	文字ごとのまとまりでくくれる	ax + ay = a(x + y)	文字を闇雲に展開すると構造が見えにくくなる

型の見分け方とコツ

因数分解は、共通因数をくくったあと 「この式はどの型に当てはまるか」 を判断するだけで、使う公式がほぼ自動的に決まります。

ここでは、代表的な型を実際にどう見抜けばよいのか、順番にポイントを整理します。

平方差は “2乗どうしの引き算” を探すだけ

平方差は、因数分解の中でも最も速い型です。式の中に A² - B² の形（=2乗 - 2乗）が見つかった瞬間に決まります。

例：
x² - 16
= x² - 4²
→ (x - 4)(x + 4)

反対に、A² + B² のような足し算は平方差にはできません。「引き算の形かどうか」を最初に見るのがコツです。

完全平方は “平方完成できるか？” の一発判定

完全平方は、

x² + px + q　が　(x + α)²にできるか？

を見るだけです。例えば、

x² + 6x + 9 → (x + 3)²

となるように、中項 6x が 2 × 3x に分けられるかどうかを着目すると判断が早くなります。

逆に以下のように、最後の +10 が合わない場合は完全平方にはなりません。

x² + 6x + 10

たすき掛けは “積→和の順で探す” のが鉄則

4次や6次のような高次式も、構造が 2 次式っぽいか で判断できます。

例：
x⁴ - 5x² + 6
→ “x² の2乗” と “x² の1乗” が見える
→ x² = t と置く
→ t² - 5t + 6
→ 因数分解
→ 最後に x に戻すのが最重要

置換後の“戻し忘れ”は典型的なミスなので、「置いたら、戻す」までを1セットで考えましょう。

多変数は“文字ごとにまとめられるか”を見る

x や y が混ざる式では、まず 文字ごとにまとまりを見つけるのがコツです。

例：
ax + ay = a(x + y)

特に xy, x²y, xy² のようなパターンは共通の xy を探すとすぐ整理できます。

因数分解に関連した練習問題

因数分解の基本は「共通因数→形の判定→公式→検算」の流れを固定することです。以下の3問は、この手順を実際に手で確認しながら練習できる構成になっています。

例題1（基本）：6x² - 9x を因数分解せよ

解法・解説

3x でくくる → 3x(2x - 3)

検算：

展開して元に戻るか確認。→3x(2x - 3) = 6x² - 9x

例題2（標準）：6x² + 11x +3を因数分解せよ

解法・解説：

たすきがけ。6・3=18 の積が作れるペアを探す。因数ペア (1,18),(2,9),(3,6) を順に検討する。
6x² + 11x +3 = (3x + 1)(2x + 3)

ポイントは積→和の順で判定することです。表に書き出すと早いです。

例題3（平方差）：9x² - 16 を因数分解せよ

解法・解説

(3x)² - (4)² = (3x - 4)(3x + 4)
NG例：9x² + 16は平方差ではなく、因数分解できません。

毎回「共通因数→形の判定→公式→検算」の順で統一すれば、スピードと正確さが安定します。

因数分解でよくある誤答

• 共通因数を先にくくらない
  →係数が大きいままになり、たすき掛けが急に難しくなる
• 積と和を取り違える
  →因数ペア表を必ず作る。
• 符号ミス
  →負の積は「+ と - が混在」と必ず確認する。
• 置換の戻し忘れ
  →解き始めに「※最後に t→x を戻す」とメモする。
• 平方差の誤用
  → A² + B² は因数分解不可。必ず“引き算の2乗差”だけ。

まとめ｜因数分解の基本手順と見極め方のポイント

ここまでの内容を振り返り、高校数学で押さえておくべき因数分解のポイントを整理しましょう。

• 基本手順
  
  • 共通因数でくくる（最初に式を軽くする）
  • 式の型を見分ける
    
    • 平方差 A² - B²
    • 完全平方 x² + px + q
    • たすき掛け（ ac の因数ペア）
    • 3乗の和差
    • 置換（ x² = t など）
  • 公式に当てはめる
  • 展開して元に戻るか検算する
• 迷ったときはこの順番に戻る
  共通因数→形の判定→公式→検算

  この流れさえ身につければ、複雑な式も自然に整理でき、本番の計算スピードと正確さが安定します。

ただし、因数分解の公式や手順は覚えたつもりでも、

• 「どのタイプの問題で、どの公式を使えばいいのかわからない」
• 「たすき掛け・平方差・3乗の和差などの判定でつまずく」
• 「自分の因数分解が本当に合っているか、展開して確かめても不安」

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