因数定理とは？──f(a)=0 ならば (x-a) は因数である定理の使い方を知りたい

因数定理とは何か?内容を確認しよう

因数定理は、高次方程式を解いたり、複雑な多項式を因数分解したりする際の強力な道具です。剰余定理の特殊ケースとして、「割り切れる条件」を明確に示してくれます。

ここでは、因数定理の内容とその使い方をまとめました。

因数定理の内容

因数定理

多項式 f(x) と実数 a について、

f(a)=0 ⇔ (x-a) は f(x) の因数である

つまり、f(a)=0 となる a を見つければ、(x-a) で f(x) を割り切ることができる

ひと目でわかる"因数定理の内容と使い方"

具体例で確認

f(x)=x³-6x²+11x-6 について、f(1) を計算してみましょう。

f(1)=1³-6・1²+11・1-6=1-6+11-6=0

f(1)=0 なので、因数定理より (x-1) は f(x) の因数です。

剰余定理との関係

剰余定理とは

因数定理を理解するには、まず剰余定理を知る必要があります。

剰余定理

多項式 f(x) を (x-a) で割ったときの余りは f(a) である

つまり、f(x)=(x-a)Q(x)+R と表したとき、余り R=f(a) です。

因数定理は剰余定理の特殊ケース

剰余定理で余りが0の場合が因数定理です。

剰余定理: f(x)=(x-a)Q(x)+f(a)

ここで、余り f(a)=0 のとき、

f(x)=(x-a)Q(x)

つまり、(x-a) で割り切れる (因数である)

関係:

• 剰余定理: 余り =f(a)
• 因数定理: 余り = 0 ⇔ f(a) =0 ⇔ (x-a) は因数

因数定理の使い方 (基本)

例題: 三次式の因数分解

問題:f(x)=x³-6x²+11x-6 を因数分解せよ。

解答・解説

【ステップ1】解の候補を探す

有理数解の候補は、定数項の約数 ÷ 最高次係数の約数

定数項 -6 の約数: ±1, ±2, ±3, ±6

最高次係数 1 の約数: ±1

候補: ±1, ±2, ±3, ±6

【ステップ2】小さい値から試す

f(1)=1³-6・1²+11・1-6=1-6+11-6=0

よって、(x-1) は因数

【ステップ3】与えられた式を因数で割る（組立除法の利用）

f(x)=x³-6x²+11x-6=(x-1)(x²-5x+6)

【ステップ4】商を因数分解

x²-5x+6=(x-2)(x-3)

【ステップ5】完全な因数分解

f(x)=(x-1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)

答: (x-1)(x-2)(x-3)

ポイント:

高次方程式への応用

例題: 三次方程式を解く

問題:x³-3x²-6x+8=0 を解け。

解答・解説

【ステップ1】因数定理で1つの解を見つける

f(1)=1-3-6+8=0

よって、x=1 は解の1つ

【ステップ2】与えられた式を因数で割る（組立除法の利用）

x³-3x²-6x+8=(x-1)(x²-2x-8)

【ステップ3】二次方程式を解く

【ステップ4】すべての解

x=-2, 1, 4

答:x=-2, 1, 4

解法の流れ:

三次方程式 → 因数定理で 1 解 → 組立除法 → 二次方程式 → 全解

因数定理の応用パターン

応用: 係数決定問題

問題: f(x)=x³+ax²+bx+6 が (x-1) と (x+2) で割り切れるとき、a と b を求めよ。

解答・解説

【ステップ1】(x-1) で割り切れる条件

・・・①

【ステップ2】(x+2) で割り切れる条件

・・・②

【ステップ3】連立方程式を解く

勉強の進め方と練習方法のアドバイス

• 小さい整数から試す: 解の候補は ±1, ±2, ±3, ・・・ と絶対値の小さいものから順に試しましょう。多くの問題で ±1, ±2 あたりに解があります。
• 代入計算を丁寧に: f(a) の計算では、符号ミスに注意しましょう。段階的に計算して、各項を確認します。
• 見つけた因数で必ず割る: 因数を見つけたら、与えられた式を因数で割って次数を下げます。
• 完全に因数分解するまで続ける: 二次式が残ったら、さらに因数分解できないか確認します。因数定理、公式、たすきがけなどを使います。
• (x-a) と (x+a) を区別: f(2)=0 なら因数は (x-2) です。(x+2) ではありません。符号に注意しましょう。

練習は、たとえば「入門問題 2 題→標準問題 3 題→実戦問題 2 題→仕上げの小テスト 10 問」といった順で進めると、理解が深まるはずです。

間違えた問題は、原因別に整理します (計算ミス / 符号の間違い / 組立除法のミス / 因数分解の途中で終わるなど)。翌日に同じタイプの問題を 1 問だけ解き直すことで、ミスの再発を防げます。

因数定理と関連するその他の重要知識

因数定理ができるようになると、高次方程式や因数分解の理解が一気に深まります。ここでは、次のステップとして押さえておきたい重要な知識を確認していきましょう。

• 剰余定理: f(x) を (x-a) で割った余りは f(a) です。因数定理の基礎となる定理です。
• 組立除法: (x-a) で割る効率的な計算方法です。因数定理と組み合わせて使います。
• 因数分解の公式: 立方の和・差、たすきがけなど、因数定理以外の方法も重要です。
• 解と係数の関係: 解の和や積と係数の関係 (ビエトの定理) も、高次方程式で役立ちます。

余裕があれば、複素数の範囲での因数定理など、より高度な内容にも挑戦してみましょう。

まとめ｜因数定理のポイント

ここまでの内容を振り返り、押さえておくべき因数定理のポイントを整理しましょう。

因数定理: f(a)=0 ⇔ (x-a) は f(x) の因数である

使い方(3ステップ):

1. 1. 候補を試す (±1, ±2, ±3, ・・・)
2. 2. f(a)=0 となる a を見つける
3. 3. 組立除法で (x-a) で割る

応用:

• 多項式の因数分解
• 高次方程式を解く (次数を下げる)
• 係数決定問題

コツ:

• 小さい整数から順に試す
• 代入計算を丁寧に(符号注意)
• 見つけた因数で必ず割る
• 完全に因数分解するまで続ける

よくある間違いと対策:

• f(a) の計算ミス → 段階的に計算
• (x-a) と (x+a) の混同 → 符号確認
• 因数分解を途中で終わる → 二次式も分解
• 組立除法のミス → 計算を丁寧に

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