【関数と極限】∞＋∞＝∞とは

【質問の確認】

∞＋∞＝∞となる意味がわからない。∞は，すごく大きな数を表す記号ではないのですか？
というご質問ですね。

【解説】

≪極限の表し方≫
極限を求める式は，例えば，

と書きますが，この「＝」は，x＋3にx＝1を代入して，
　　　x＋3＝1＋3＝4
と表す場合の「＝」とはちょっと違います。xは1という値そのものになるのではなく，あくまでも，xを1に限りなく近づけたら，x＋3は4に限りなく近づく，つまり，
　　　x→1 のとき x＋3→4
である状況を，①のように表すのです。
このように，極限を求めるときは状況を考えてみるとよいでしょう。

≪∞とは≫
∞は，限りなく大きいことを表す記号であって，限りなく大きな数ではありません。
ですから，∞＋∞＝2∞のように書くこともありません。この場合，「限りなく大きいことと，限りなく大きいことを合わせる」ため，結局，限りなく大きいことには変わらないため，∞＋∞は∞となります。状況を考えれば明らかですね。
基本的に∞の記号は  やx→∞，極限は∞（正の無限大に発散すること）のように，極限の記号や極限について用いられることが多いです。

≪∞−∞の状況は…≫
それでは∞−∞はどうなるのでしょうか？
先にも説明したように，∞は，数値ではないので，1−1＝0と同じように計算することはできません。それでは，状況を考えて「限りなく大きいことから，限りなく大きいことを引く」と読みかえてみても，これがどんな状況になるのかは，これだけではわかりません。また，∞×0，，も，どのようになるかは状況によって異なります。そこで，それらの極限を調べるには，個々の問題ごとに工夫が必要なのです。

≪極限を求める工夫≫
それでは，工夫が必要な場合を具体的に考えてみましょう。

このように，「∞−∞」の形になる場合の極限は，状況によって違うのです。

【アドバイス】

x→∞は「xが限りなく大きくなること」で，それぞれの大きくなる「状況」を考えることが大切です。いろいろな問題で「状況」を考える練習をしておきましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。