【数と式】無理数の整数部分,小数部分の求め方

無理数の整数部分,小数部分の求め方

「√11の整数部分,小数部分を求めなさい。」
という問題で,どうして,3≦√11<4という式が出てくるのか,わかりません。

そして,この整数部分が3だと,どうしてわかるのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

の整数部分,小数部分を求めなさい。」
という問題で,どうして,3≦<4という式が出てくるのか,わかりません。
そして,この整数部分が3だと,どうしてわかるのですか?
というご質問ですね。

【解説】

整数部分,小数部分の意味
例えば,2.236という数では,整数部分は2,小数部分は0.236 となります。

さて,簡単な数の場合,上のように見ればわかりましたが,これを手順として表すと次のようになります。

ある数■の整数部分,小数部分を見つける問題の解き方の手順

n≦■<n+1 となる整数 nを見つける。(整数 nが整数部分となります。)

「(整数部分)+(小数部分)=(もとの数)」を使って,小数部分を求める。

まず,手順を理解するために,先ほどの2.236を例に,大きな流れをつかみましょう。

【例1】
2.236の整数部分と小数部分を求めなさい。

手順① 2.236の整数部分を求める。
まず,2.236は,どんな整数の間にある数か,調べます。これを,数直線上に表してみると,

となり,2と3の間にあることがわかりますね。上で示した手順の①の書き方で表すと,2≦2.236<3となります。
したがって, 2.236の整数部分は2となります。

手順② 小数部分を求める。
「(整数部分)+(小数部分)=(もとの数)」ですね。この式を変形して,
(もとの数)−(整数部分)=(小数部分)」とすれば,「小数部分」を求めることができますね。
つまり,2.236−2=0.236となり,小数部分は0.236となります。

これで,手順の概要はつかめましたか?

さて,無理数についても,基本的な考え方は同じです。

【例2】
無理数 の整数部分,小数部分を求めなさい。

手順① まずnn+1となる整数 nを求める。
√ の中の数,つまり11が,02,12,22,32,42,・・・・・・のどの数の間にあるかを考えます。
(なぜ,(整数)2のように考えるかは後で説明します。)
22 = 4,329,4216,52 = 25,・・・・・・なので,32 と 42 の間に11があることがわかりますね。
(このように,地道に,11の前後となる,(整数)2を見つけます。)
よって,32 ≦ 11 < 42 と,式にすることができます。
ここで,√をつけても大小関係は変わらないので,

√(3^2 )≦√11<√(4^2 ) ・・・・・・(★)3≦√11<4 √(3^2 )≦√11<√(4^2 ) ・・・・・・(★)3≦√11<4

したがって, の整数部分は,3だとわかります。

手順② 小数部分を求める。
(小数部分)=(もとの数)−(整数部分)なので,小数部分は - 3となります。
よって,答えは, の整数部分は3,小数部分は - 3です。

≪整数部分を考えるときのポイント≫
手順①で,なぜ,(整数)2のように考えたかというと, (★)の計算で,両端に整数が出てくるようにしたためです。
ある数の整数部分を調べるときは,その数が「連続した整数に挟まれる形」にすることがポイントです。

◎オマケ◎
無理数の整数部分,小数部分を求める問題では,
22,32,42,52,62,72,82,92,102,112,122,132,142,152
程度の数を覚えておくと,連続した整数を見つけるときに便利ですよ。

【アドバイス】

ある数■の整数部分を調べるときは,■が「連続した整数に挟まれる形」,すなわち,n≦■<n+1の形にすることがポイントです。
また,n≦■<n+1の形にできたあと整数部分を求めるときに,『n≦■<n+1 のとき■の整数部分はn 』ということを丸暗記するのではなく,数直線をかいたり,具体的な数で考えたりして,導けるようにしておくことで,ケアレスミスを防げるでしょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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