因数分解の公式ってどれを使えばいいの？

よく使う因数分解の公式一覧

因数分解の問題を解くときに、まず思い出すべきなのが「公式」です。
公式を知っていれば、複雑に見える式も一気に整理でき、計算のスピードが格段に上がります。

高校数学でよく使う公式は、大きく分けて次の3種類です。

• 2乗に関する公式（平方の形や平方の差）
• 3乗に関する公式（3乗の和・差）
• 係数がつく2次式の因数分解（ax² + bx + cの形）

これらは定期テストでも入試でも頻出で、符号や係数を間違えやすいポイントでもあります。ここでは、代表的な公式を一覧表と例題で整理し、それぞれの使い方のコツを確認していきましょう。

2乗の公式

2乗に関する因数分解の公式は、最もよく使う基本形です。とくに「平方の展開」と「平方の差」は定期テストでも入試でも必ず出題されます。

代表的な公式は次の3つです。

公式	使う場面	注意点
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2	x2 + 2ax + a2 の形を見つけたとき	中項 2ax に注意
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2	x2 - 2ax + a2 の形を見つけたとき	符号のマイナスを落とさない
x2 - y2 = (x - y)(x + y)	2つの平方の差のとき	「差の2乗」ではなく「平方の差」であることに注意

例題

次の式を因数分解せよ。

x² + 6x + 9

解答：(x + 3)²

ポイント：x² + 2ax + a² の形を探す。ここでは 2a = 6 ⇒ a = 3、定数項が a² = 9 に一致するので、(x + 3)²と認識できる。

3乗の公式

3乗に関する因数分解の公式は、頻度こそ2乗ほど高くありませんが、入試や応用問題で必ず登場する重要な公式です。特に「3乗の和または差」はそのままでは思いつきにくいので、しっかり覚えておきましょう。

代表的な公式は次の2つです。

公式	使う場面	注意点
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)	3乗の和が出てきたとき	因数分解後の2つ目の括弧内（2次式）の符号は「+ - +」に並ぶ
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)	3乗の差が出てきたとき	因数分解後の2つ目の括弧内（2次式）の符号は「全て正(＋)」になることを確認

例題

次の式を因数分解せよ。

x³ + 27

解答：(x + 3)(x² - 3x + 9)

ポイント：27 = 3³ と見抜き、x³ + y³ の形に当てはめる。符号の並びが「+ - +」になることを確認する。

係数のある2次式の因数分解

中学では x² + bx + c 型の因数分解を中心に扱いますが、高校数学ではさらに ax² + bx + c のように x² の前に係数がつく2次式 が頻出します。ここでは「ac法」（積と和を使う方法）が定番です。

手順は次の通りです。

1. 1. acを計算する
2. 2. その積を満たす2つの数を探す
3. 3. その2数の和が bになることを確認
4. 4. 係数を分解して2つの括弧に振り分ける

例題

次の式を因数分解せよ。

2x² + 5x + 3

解答：(2x + 3)(x + 1)

解答のポイント：

• まず ac = 2 × 3 = 6を計算。
• 和が b = 5 になる組は 2 + 3。
• 5xを 2x + 3xに分けて整理すると、 (2x + 3)(x + 1)と因数分解できる。

因数分解の公式を使う場合の見分け方

因数分解の問題では、「どの公式を使えばよいのか分からない」という悩みがよくあります。実際にテストで時間をロスする原因の多くは、この見分けに迷ってしまうことです。

コツは、式の形を観察することと、最初に共通因数をくくり出す習慣を持つこと。

• 項の並びや定数の平方に注目すれば、2乗や3乗の公式が使えるかどうかがすぐ分かります。
• 公式を探す前に共通因数をくくると、式がシンプルになって判断しやすくなります。

ここでは、公式を選ぶための「形から判断するコツ」と「共通因数を先にくくる手順」の2つを確認し、解答時間を短縮できる方法を身につけましょう。

形から判断するコツ

因数分解の公式をすぐに思い出すためには、式の「形」に注目するのが一番の近道です。
見慣れたパターンを見抜ければ、解答時間を大幅に短縮できます。

よくある見分け方は次のとおりです。

式の形	使える公式	見分けのポイント
x2 + 2ax + a2	(x + a)2	定数項が平方数かどうか確認
x2 - 2ax + a2	(x - a)2	中項の符号に注意
x2 - y2	(x - y)(x + y)	2項だけで「平方の差」になっている
x3 + y3	(x + y)(x2 - 2xy + y2)	3乗の和、符号パターンは「+ − +」
x3 - y3	(x - y)(x2 + 2xy + y2)	3乗の差、2次式部分はすべて+

例題

次の式は完全平方の形になるか、判断しなさい。

x² + 2x + 3

解答： 完全平方の形ではない。

ポイント：x² + 2ax + a²なら、定数項はa²でなければならない。ここでは定数項が3で平方数ではないため、完全平方の形にはならない。

先に共通因数でくくる

因数分解の問題を解くときは、いきなり公式を探そうとせず、まず共通因数をくくり出すのが鉄則です。最初にくくることで式がシンプルになり、どの公式を使うべきか判断しやすくなります。

手順

1. 1. 各項の係数・文字に共通している因数を探す
2. 2. その因数を外に出して式を整理する
3. 3. 残った部分が公式の形になっていないか確認する

例題

次の式を因数分解せよ。

2x² + 4x

解答：2x (x + 2)

ポイント：いきなり平方や立方の形を探すのではなく、まず 2xをくくり出す。共通因数を取り出した後に公式が使える場合も多い。

因数分解の公式を使った例題【基本編】

公式を覚えていても、実際の問題で使いこなせなければ意味がありません。ここでは、定期テストや入試で頻出する「基本的な因数分解の型」を例題で確認していきます。

例題は次の流れで解説します。

1. 1. 問題を提示（どんな形かに注目）
2. 2. 解答（公式を適用した因数分解）
3. 3. ポイント（どの公式を選んだか、見分け方の理由）

この流れに沿って練習すると、公式の丸暗記ではなく「形を見て判断する力」が身につきます。

例題1 2乗の公式を使う

2乗に関する公式は、因数分解で最もよく使う基本形です。特に 「平方の差」 はテストで頻出なので、すぐに見抜けるようにしておきましょう。
※「差の2乗」(x - y)² と 「平方の差」 x² - y² は別物です。名前を取り違えないよう注意。

問題

x² - 49

を因数分解せよ。

解答

(x - 7)(x + 7)

ポイント

例題2 係数のある2次式

2次の項の係数が1でない場合は、ac法（積と和を利用する方法）を使うとスムーズに因数分解できます。高校入試や定期テストでよく出題される重要パターンです。

問題

3x² + 10x + 8

を因数分解せよ。

解答

(3x + 4)(x + 2)

ポイント

例題3 完全平方の形を見抜く

2次式の中には、(x + a)²のように 完全平方の形 になっているものがあります。定数項が平方数になっているかどうかを確認すれば、すぐに判断できます。

問題

x² + 8x + 16

を因数分解せよ。

解答

(x + 4)²

ポイント

因数分解の公式を使った例題【応用編】

基本的な公式をマスターしたら、次は入試や難関校のテストでよく出る 応用パターン に挑戦しましょう。応用問題では、公式をそのまま当てはめるのではなく、置換を使って2次式に変形する、複数の公式を組み合わせる、文字を含む係数を処理する といった工夫が必要になります。

応用問題を解くときの考え方は次のとおりです。

• 複雑な式でも「2次式の形」に変形できないかを探す
• まず共通因数をくくり出し、その後に公式を適用する
• 文字係数がある場合は「積と和」の関係を冷静にチェックする

ここでは、典型的な応用パターンを3題取り上げ、解法の流れと考え方を解説します。

例題1 置換で2次式に落とす

高次式の因数分解では、置換を使って2次式に変形するのが有効です。特に「4次式が2乗の形」になっているときは、t = x² の置換で処理できます。

問題

x⁴ - 5x² + 4

を因数分解せよ。

解答

まず t = x² とおくと、

t² - 5t + 4

となる。

これを因数分解すると、

(t - 1)(t - 4)

元に戻すと、

(x² - 1)(x² - 4)

(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)

ポイント

例題2 3乗と2乗の組み合わせ

式の中に3乗と2乗が混ざっている場合は、共通因数を先にくくり出すと形が整理され、公式が適用しやすくなります。

問題

x³ - 4x

を因数分解せよ。

解答

まず共通因数 x をくくり出す：

x(x² - 4)

さらに平方の差の公式を使うと：

x(x - 2)(x + 2)

ポイント

因数分解の問題で間違えやすいポイント

因数分解の公式や手順を理解していても、テストで失点してしまうことがあります。その多くは「単純なケアレスミス」や「思い込み」によるものです。

よくある間違いは、

• 符号を取り違える（特に3乗の公式や展開の逆）
• 係数や指数を落としてしまう
• 共通因数を見逃す

といったものです。

ここでは、初学者がつまずきやすい典型的な誤りを3つ取り上げ、それぞれの原因と対策を確認します。これを押さえておけば、試験本番でのミスを大幅に減らせます。

符号の取り違えに注意する

因数分解で最も多いミスの一つが 符号の取り違え です。特に3乗の公式や展開の逆を使うとき、符号の並びを正しく押さえていないと誤答につながります。

誤答例

x³ + 27 = (x + 3)(x² + 3x + 9)　✕

正答

x³ + 27 = (x + 3)(x² - 3x + 9)　◯

ポイント

係数や指数を落とさない

因数分解の計算過程で、係数や指数を落としてしまうミスもよくあります。急いで解くと「数字のかけ忘れ」や「指数の書き忘れ」が起きやすいので注意しましょう。

誤答例

2x² + 4x = x(x + 2)　×

正答

2x² + 4x = 2x(x + 2)　◯

ポイント

共通因数を必ず確認する

因数分解では、公式に当てはめる前に 共通因数をくくり出す のが基本です。これを忘れると、式を不必要に複雑な形で処理してしまい、計算ミスや時間ロスにつながります。

誤答例

x² + 2x = x(x + 2) + 1　×

（公式を無理に当てはめて誤った形にしてしまっている）

正答

x² + 2x = x(x + 2)　◯

ポイント

因数分解の公式を定着させる学習法

公式を覚えただけでは、テスト本番でスムーズに使いこなせません。大切なのは、展開と因数分解が逆の操作であることを体感しながら練習することです。

学習のコツは次の2つです。

1. 1. 公式を自分で展開し直して確認する
2. 2. 出題頻度の高い型を繰り返し解いて慣れる

このサイクルを取り入れると、ただの暗記ではなく「見た瞬間に公式が浮かぶ」状態にできます。短時間でも効果的に復習できるので、定期テストや入試対策に直結します。

公式を展開して確かめる

因数分解の公式は、展開の逆操作です。暗記するだけでなく、自分で展開して元に戻す練習をすると、理解が深まり忘れにくくなります。

学習の手順

1. 1. まず公式を因数分解の形で書く（例：(x + y)²)。
2. 2. それを展開して、もとの多項式になるか確認する（例：x² + 2xy + y²)。
3. 3. 逆に多項式を因数分解して、再び公式の形に戻す。

演習タスク

• (x + 5)²を展開→x² + 10x + 25
• x² + 10x + 25　を因数分解→(x + 5)²

このように「行き来する練習」をすると、ただの丸暗記ではなく「因数分解＝展開の逆」という感覚が定着します。

典型パターンを反復する

因数分解の力を定着させるには、よく出るパターンを繰り返し練習することが一番効果的です。見た瞬間に「この形ならこの公式！」と判断できるようになるまで反復しましょう。

頻出パターンの例

パターン	例題	使う公式
平方の差	x2 - 16 解(x - 4)(x + 4)	x2 - y2 = (x - y)(x + y)
完全平方	x2 + 6x + 9 解(x + 3)2	x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
ac法（2次式の係数あり）	2x2 + 5x + 3 解(2x + 3)(x + 1)	ac法で分解
3乗の和	x3 + 8 解(x + 2)(x2 - 2x + 4)	x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
3乗の差	x3 - 27 解(x - 3)(x2 + 3x + 9)	x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)

学習のポイント

• 毎回「形 → 公式 → 因数分解」の流れを確認する。
• 1日10分でも構わないので、繰り返し解くことで反射的に判断できるようになる。
• 定期テスト直前は「平方の差」「ac法」「3乗の和・差」を重点的に復習すると効果的。

まとめ｜因数分解の意味と大事なポイント

因数分解は「式をかけ算の形に直す」操作
→ 展開の“逆”として、計算を簡潔にし、解法の見通しを良くする基礎テク。

よく使う公式は3系統
→2乗（完全平方・平方の差）／3乗（和・差）／係数付き2次式（ac法）。
→ まずは“形で見抜く”習慣をつける。

必ず最初に共通因数でくくる
→ いきなり公式を探さず、共通因数を外してから形判定。これだけで難度が下がる。

見分けのコツをパターン化
→ 「定数が平方数＝完全平方の形」「2項だけ＝平方の差」「3乗が見えたら“3乗の和・差”」など。

計算でハマりやすい落とし穴
→ 符号の取り違え（特に3乗）／係数・指数の書き落とし／ac法での分け方ミス。

定着させる学習法
→ 公式を“自分で展開して戻す”練習＋頻出型（平方の差・ac法・3乗の和差）の反復。
→ “形 → 公式 → 因数分解”の流れを毎回確認。

ただ実際の学習では、

• どの公式を使うかで迷う
• 符号・係数をうっかりミスする
• 共通因数を見落として時間を失う

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