有理数ってどんな数？

有理数の分類と小数表示

有理数は「分数で表せる数」ですが、見た目の形はさまざまです。整数として書ける場合もあれば、小数で表される場合もあります。ここでは、有理数を 整数・有限小数・循環小数 に分けて整理し、さらに「小数表示から有理数かどうかを見分ける方法」について確認していきましょう。

有理数の分類（整数・有限小数・循環小数）

有理数には、次のようにいくつかの表し方があります。

• 整数：分母を 1 とすれば分数で表せる
  例：-2,0,7
• 有限小数：小数が有限の桁で止まる数（＝分数に直せる）
  例： = 、
• 循環小数：同じ数字の並びが繰り返し現れる数（＝分数に直せる）
  例： = 、

分類	例
整数	-2,0,7
有限小数	1.25 = , 0.5 =
循環小数	= 、

一方で、 のように分数で表せない数は「無理数」に分類されます。

例題
次の数のうち、有理数をすべて選びましょう。

① -2　② 1.25　③ 0.666...　④

解答
① -2（整数）
② 1.25（有限小数＝分数に直せる）
③ 0.666...（循環小数＝分数に直せる）
④ ​（分数に直せないので無理数）

よって、有理数は ①②③ です。

有理数の小数表示と見分け方

有理数を小数で表すと、必ず 「有限小数」または「循環小数」 になります。逆に、小数が止まらず、しかも繰り返しのない数は無理数です。

見分け方のポイント

• 小数が有限で終わる → 有理数
  例：0.25 = 、1.5 =
• 小数が無限に続くが、同じ並びが繰り返す（循環小数） → 有理数
  例：0.333...= 、0.142857142857...=
• 小数が無限に続き、しかも繰り返しがない → 無理数
  例：π = 3.14159265...、 = 1.41421356...

例題

問題
0.123123123... は有理数でしょうか？

解答
はい。有理数です。小数点以下が「123」の並びを繰り返しているので 循環小数 です。実際に分数に直すと、

0.123123123... =

となり、分数の形で表せます。

このように、「止まるか繰り返すか」を見ると、有理数かどうかをすぐに判断できます。

無理数との違い

有理数とよく比較されるのが「無理数」です。有理数が「分数で表せる数」であるのに対して、無理数は分数で表すことができない数です。ここからは、無理数の定義や具体例を見て、有理数との違いを整理しましょう。

無理数とは？

無理数とは、整数分の整数（ の形）で表せない数のことです。
小数で表すと 止まらず、繰り返しのない並びが続きます。

• 代表的な無理数
  • = 1.41421356...（止まらない・繰り返さない）
  • π = 3.14159265...（円周率、無限に続く）
  • e = 2.7182818...（自然対数の底）

一方、 = 2のように、整数として表せる場合は「有理数」に分類されます。

分類	具体例	小数表示
有理数	= 2	2.0（有限小数）
有理数		0.333...（循環小数）
無理数		1.41421356...（非循環）
無理数	π	3.14159265...（非循環）

よくある判定ミスに注意しよう

有理数と無理数を判定するとき、高校生がよく間違えるケースがあります。ここでは代表的な誤りを整理しておきましょう。

• は有理数
  = なので、分数で表せます。
• は無理数
  が無理数なので、その倍数や分数も無理数のままです。
• は有理数
  = 2 と整数で表せるため、有理数です。

このように「ルートがついているから全部無理数」と考えるのは間違いです。計算して分数や整数になれば有理数と判断できます。

【判定ミスをしないためのチェック手順】

1. 1.まず√の中身を確認：完全平方（または分子分母が平方）か
2. 2.√から外へ出せるものは外へ：
3. 3.√が消えれば有理数／消えなければ無理数

有理数の集合としての性質

有理数は「分数で表せる数」というだけでなく、数の世界を整理するうえで重要な位置づけを持っています。ここでは、有理数を「集合」としてとらえ、記号や他の集合との関係を確認していきましょう。

有理数の集合と記号

有理数の全体をまとめた集合は、次のように書きます。

ここでという記号は、Quotient（商） の頭文字に由来しています。「分数＝割り算＝商」というイメージを反映したものです。

他の集合との関係を整理すると次のようになります。

• 自然数（）：1,2,3...
• 整数（）：...,-2,-1,0,1,2,...
• 有理数（）：整数や分数、有限小数・循環小数を含む
• 実数（）：有理数＋無理数

つまり、

⊂⊂⊂

という包含関係になっています。

実数の分類図。実数は有理数と無理数に分かれ、有理数には整数や自然数が含まれる。例：

有理数の演算の性質

有理数の大きな特徴は、四則演算（足し算・引き算・掛け算・割り算）に強いことです。

1. 演算に「閉じている」

有理数どうしで加減乗除を行うと、結果も必ず有理数になります。 ただし、割り算のとき 0 で割ることだけはできないので注意しましょう。

• 加法：（有理数）
• 減法：（有理数）
• 乗法：（有理数）
• 除法：（有理数）
  ※ただし は未定義

2. 性質をまとめると

• 足し算・引き算・掛け算・割り算（0除く） → 結果は有理数
• このことを「有理数は四則演算に関して閉じている」といいます

例題

次の計算結果は有理数かどうか答えましょう。

①
②

解答
① → 有理数
② 0 で割っているため計算できない → 有理数ですらない

「0で割る場合」を除けば、どんな計算でも有理数に収まるのが大きな特徴です。

有理数の使い方をケース別に紹介（実生活・入試・応用）

有理数は教科書上の知識だけでなく、私たちの生活や入試問題、そして数学の応用分野でも広く登場します。ここでは、実生活 → 入試 → 応用と段階的に見ていきましょう。

実生活における有理数

実は日常生活の中で、私たちは無意識のうちに有理数を使っています。身近な例を見てみましょう。

• 割り勘
  3人で 1500 円を割り勘すると、1人あたり 1500 ÷ 3 = 500 円。これは整数＝有理数です。
• 時間の表し方
  1 時間半を「1.5 時間」と表すと、これは有限小数＝有理数です。
• 商品の価格
  ガソリンが 1ℓ あたり 168.7 円なら、小数で表された値段ですが、これも有限小数＝有理数です。

このように、お金の計算・時間の表現・数量の扱いなど、私たちの生活は有理数に支えられています。

入試での有理数の出題例

有理数は中学〜高校初期にかけての基礎単元なので、共通テストや定期試験でも頻出です。特に「定義」「小数での見分け方」「平方根を含む式の判定」などがよく問われます。

典型的な問題例

問題
次のうち、有理数でないものを選びなさい。

① 　② 　③ 　④ 0.25

解答

• ① = 分数 → 有理数
• ② = 2（整数） → 有理数
• ③ = 1.41421356...（分数で表せない） → 無理数
• ④ 0.25 = （有限小数） → 有理数

よって答えは ③ です。

出題のポイント

• 定義の理解：「分数で表せるかどうか」が基本
• 小数表示の判定：「止まる／繰り返す」なら有理数
• 平方根の扱い：計算して整数・分数になれば有理数、そうでなければ無理数

数学的・応用的な有理数の使い道

有理数は「分数で表せる数」としての理解にとどまらず、数学のさまざまな分野で基盤となる道具として活用されます。

応用シーンの例

• 確率
  サイコロを振って「1の目が出る確率」は 。 分数として表現できるので有理数です。
• 平均値の計算
  テストの得点を合計して人数で割った値は、多くの場合有限小数。これも有理数です。
• 式変形や関数の係数
  例： のように、文字式の係数として有理数が頻出します。（無理数の場合もある）

有理数の強み

無理数（πや）は近似値でしか扱えませんが、有理数は 正確に値が決まる という利点があります。そのため、計算の基準・道具として数学の土台になっているのです。

まとめ｜有理数の意味と大事なポイント

有理数は「分数で表せる数」のこと
→ 整数・分数・有限小数・循環小数をすべて含む。

小数表示で見分けられる
→ 止まる（有限小数）か、繰り返す（循環小数）なら有理数。
→ 止まらず繰り返しのない小数は無理数。

無理数との違いを押さえる
→ やπのように分数で表せない数は無理数。
→ = 2 のように計算して整数になれば有理数。

有理数は集合として重要
→ 自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数 という階層の一部をなす。
→ 四則演算（0で割る場合を除く）に閉じているのも特徴。

生活や入試でよく登場
→ 割り勘・時間・価格表示など日常生活に直結。
→ 定期テストや入試では「定義の理解」「小数からの判定」「平方根の扱い」で頻出。

ただ実際の学習では、

• √がついていると全部「無理数」だと思ってしまう
• 有限小数や循環小数を分数に直す方法があいまい
• 0で割るケースに気づかず誤答する

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが 進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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