三乗の展開公式は？符号や係数をまちがえずに計算するコツを教えて

【質問の確認】三乗の展開公式でどこにつまずいている？

まずは、いただいた質問の内容をもう一度整理してみましょう。あなたが困っているのは、主に次のようなポイントです。

• (a + b)³ の係数「1,3,3,1」を覚えたつもりでも、テストでスッと出てこない
• (a - b)³ のとき、「+」「-」の位置がごちゃごちゃになってしまう
• 展開してみたあと、どこでまちがえたのか自分でもよく分からない

これを表にまとめると、次のようなイメージになります。

つまずきポイント	具体的な場面の例
係数の覚え方があいまい	(a + 2)3を展開して「2x3 + 4x2 +…」のように書いてしまう
符号パターンがあやふや	(a - b)3で真ん中の項を全部「-」にしてしまう
ミスの原因が自分でつかめていない	計算をやり直しても、どこが違うのかよく分からない

三乗の展開公式が「苦手だな」と感じるのは、

• 覚えることが多い
• ミスしても原因が見えにくい

という理由が重なっているからです。

この記事では、次の3つをゴールにして解説していきます。

• 三乗の展開公式（とその仲間）をセットで整理して覚えられるようにする
• 公式を忘れても、自分でつくり直せる考え方を身につける
• テスト本番で使える、ミスを減らすチェック方法を用意する

三乗の展開公式を「セット」で整理しよう

ここからは、三乗の展開公式まわりの全体像を先に整理してしまいましょう。
「どの公式を、どこまで覚えればいいか」がはっきりすると、不安もかなり軽くなります。

【基本】(a + b)³と (a - b)³ をならべて確認しよう

三乗の展開で、まず最初におさえたいのは次の2つです。

係数と符号のパターンを、表で比べてみましょう。

項の番号	(a + b)3の項	(a - b)3の項	係数	符号の変化
①	a3	a3	1	どちらも ＋
②	3a2b	-3a2b	3	(a - b)3では −
③	3ab2	3ab2	3	どちらも ＋
④	b3	-b3	1	(a - b)3では −

ここからわかる大事なポイントは次の2つです。

• 係数はどちらも 1,3,3,1 で共通
• (a - b)³では、2番目と4番目だけ符号がマイナス になる

この「1,3,3,1 + 符号パターン」が三乗の展開の基本形です。

【仲間】a³ ± b³ の因数分解もいっしょに覚えておこう

三乗の公式は、展開だけでなく因数分解にもよく登場します。よく出てくるのは、次の2つの公式です。

三乗の展開公式と合わせて、「三乗まわりの公式」を1枚の表にしてみます。

種類	公式の形	よく出る場面
展開公式（和）	(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	展開計算、式の整理
展開公式（差）	(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3	展開計算、符号ミスが出やすい
因数分解（和）	a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)	多項式の因数分解
因数分解（差）	a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)	多項式の因数分解

「三乗の展開公式」と検索している人の多くは、まず上の2つをしっかり使えるようになりましょう。

ただ、定期テストや模試では、その少し先の

• x³ + 27
• 8x³ - 27y³

のような a³ ± b³の因数分解 も、セットで問われることが多くなります。

【整理】どこまで覚えればいい？優先順位を先に決めておこう

いきなり全部を完璧に覚えようとすると、かえって「覚えきれない…」と感じやすくなります。
学年や目的にあわせて、次のように優先順位を決めておくとラクになります。

レベル	覚えておきたい公式	こんな人向け
基本（必須）	(a + b)3, (a - b)3 の展開公式	数学Ⅰ・Ⅱの定期テスト対策
標準（できれば）	a3 ± b3 の因数分解公式	共通テスト・模試を意識したい人
発展（余裕があれば）	応用的な三乗の公式 （例：パターン認識・入試問題）	難関大を目指す・発展問題にも挑戦したい人

このように、

• まずは (a ± b)³ の展開
• つぎに a³ ± b³ の因数分解
• 余裕が出たら発展的な使い方

という順番で進めていくと、学習の見通しが立てやすくなります。

どうしてその式になるの？三乗の展開公式のつくり方

ここからは、三乗の展開公式を「暗記」ではなく「自分で作れる」ようになることを目標にします。ポイントは、

• (a + b)³を「2乗 × もう1つ」で考える
• 丁寧に展開して同類項をまとめる
• そのとき自然に「1,3,3,1」という係数が出てくることを確認する
  二乗の展開から順番にかけ算してみよう

まず、(a + b)³ を「2乗」と「1つ」のかけ算として書き直します。

(a + b)³ = (a + b)²・(a + b)

ここで、(a + b)² の展開はすでにおなじみですね。

(a + b)² = a² + 2ab + b²

したがって、

(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b)

となります。

このかけ算を、1つずつ丁寧に展開してみましょう。

(a² + 2ab + b²)(a + b)

展開していくと、

• a² × a = a³
• a² × b = a²b
• 2ab × a = 2a²b
• 2ab × b = 2ab²
• b² × a = ab²
• b² × b = b³

と6つの項が出てきます。

ここまででできた式を全部足し合わせると、

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

となります。

つまり、

• 係数が 1,3,3,1 になるのは、
  「二乗の展開式と a + b をかけたときに、同じ種類の項が3つずつ集まるから」
• 各項の文字の数は、
  a³ → a²b → ab² → b³ のように、
  aの数が1つ減るごとにbの数が1つ増えるから

だと分かります。

【例題1】(a + b)³ の公式を自分の手で導き出してみよう

考え方の流れ

1. 1. まず (a + b)²を展開する
   (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. 2. (a² + 2ab + b²)(a + b) を展開していく
   a²・a,a²・b,2ab・a,2ab・b,b²・a,b²・b
3. 3. 出てきた6つの項から、同類項をまとめる
   a²b が3個集まる
   ab² が3個集まる

答え

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

（発展）パスカルの三角形で係数1,3,3,1をながめてみよう

もう少し先の内容になりますが、三乗の展開公式の「1,3,3,1」という並びは、
パスカルの三角形とよばれる数の並びの中にも登場します。

パスカルの三角形の最初のほうだけを書くと、次のようになります。

段	数の並び
0段目	1
1段目	1,1
2段目	1,2,1
3段目	1,3,3,1

この「3段目」の 1,3,3,1 が、(a + b)³ の係数にそのまま対応しています。
このあと数学Ⅱで「二項定理」を習うと、

(a + b)ⁿ

の展開係数が、このパスカルの三角形の各段と深く関係していることが分かります。

いまの段階では、

• (a + b)³ の係数 1,3,3,1 は

「二乗の展開から計算しても出てくるし、
パスカルの三角形を見ても出てくる」

という二重の確認ができるくらいに押さえておけば十分です。

三乗の展開公式の「覚え方」３パターン

ここでは、三乗の展開公式をテスト本番で思い出せる形で覚えることを目標にします。
人によって覚えやすい形がちがうので、次の3パターンを紹介します。

• パターン①　係数と符号のルールで覚える
• パターン②　二乗公式＋真ん中の形で覚える
• パターン③　a と b の個数の変化でイメージして覚える

メインで使う覚え方を1つ決めて、ほかを「予備」として持っておくと安心です。

パターン①　係数1,3,3,1,+符号ルールで覚える

まずは一番ベーシックな覚え方です。

• 三乗の展開公式は次の2つ
  • (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

ここでおさえたいルールは、たった2つです。

• 係数はどちらも
  
  • 「1 → 3 → 3 → 1」の順番で並ぶ
• (a - b)³ のときは
  
  • 2番目の項（a²b のところ）が「−」
  • 4番目の項（b³ のところ）も「−」

つまり、

• 係数：「1,3,3,1」
• 符号：(a - b)³ では「2番目と4番目だけマイナス」

この2点さえ頭に入っていれば、式全体を思い出しやすくなります。

パターン②　二乗公式+真ん中に「3ab(a + b)」で覚える

二乗の展開公式は、すでに多くの人が慣れているはずです。

(a + b)² = a² + 2ab + b²

この2乗をスタートにして、3乗を

(a + b)³ = (a + b)²(a + b)

と考えるやり方です。
このとき、真ん中の2つの項をまとめると

3a²b + 3ab² = 3ab(a + b)

という形になります。

覚えるポイントは次の通りです。

• まず「外側」に a³ と b³ がある
• 真ん中は「3ab × (a + b)」の形になっている
• 2乗の展開を思い出せれば、3乗もそこからイメージできる

二乗公式が得意な人は、このパターンでつなげて覚えるとスムーズです。

パターン③　a と b の個数の変化でイメージして覚える

文字だけだと混乱しやすい人は、「a と b を何個ずつ使っているか」に注目してみましょう。

(a + b)³ を展開した式は

• a³
• 3a²b
• 3ab²
• b³

の4つの項からできています。それぞれの項について、a と b の個数を見ると次のようになります。

• a³：aを3個、b を0個
• a²b：a を2個、b を1個
• ab²：a を1個、b を2個
• b³：a を0個、b を3個

ここから分かるのは、

• どの項も「a と b を合わせて3個使っている」こと
• 左から右に進むにつれて
  • a の数は 3 → 2 → 1 → 0 と1つずつ減る
  • b の数は 0 → 1 → 2 → 3 と1つずつ増える

という“階段”のような変化になっている、ということです。

「a が減る分だけ b が増えていく」というイメージで並びを覚えておくと、
途中でどんな項が来るか、感覚的に思い出しやすくなります。

【例題2】自分に合う覚え方で (x + 2)³ を展開してみよう

問題　次の式(x + 2)³を展開しなさい。

解き方の一例（パターン①）

• 係数は「1,3,3,1」
• a を x、b を 2 と読む

このように置き換えて式を作ると、

• 1つ目：x³
• 2つ目：3x²・2
• 3つ目：3x・2²
• 4つ目：2³

あとはそれぞれ計算して、

x³ + 6x² + 12x + 8

となります。

別の解き方（パターン②）

• まず二乗から考える
  (x + 2)² = x² + 4x + 4
• その結果に (x + 2) をかける
  (x² + 4x + 4)(x + 2)
• 1項ずつかけて、同類項をまとめていくと最後は同じく
  x³ + 6x² + 12x + 8
  という式にたどり着く

同じ問題でも、

• 係数と符号のパターンから攻める方法
• 二乗公式からつなげて思い出す方法
• a と b の個数の変化で式の形をイメージする方法

など、いくつかのルートを自分の中に持っておくと、テスト本番でどれかひとつを思い出せればよくなり、気持ちにも余裕が生まれます。

典型問題でチェック！三乗の展開・因数分解トレーニング

ここからは、三乗の展開公式を実際の問題の中で使えるレベルにしていきます。
展開だけでなく、

• 三乗公式を使った因数分解
• 「三乗のかたまり」を見抜く練習

までやってみましょう。

【例題3】(2x - 1)³ を展開してみよう

ポイント

• 係数は「1,3,3,1」

手順

• a を 2x、b を 1 とおいて式を並べる
  
  • 1つ目：(2x)³
  • 2つ目：-3(2x)²・1
  • 3つ目：3(2x)・1²
  • 4つ目：-1³
• それぞれ計算する

答え

(2x - 1)³ = 8x³ - 12x² + 6x - 1

展開し終わったら、次の3点をサッと見直すクセをつけておくと安心です。

• 項は4つになっているか
• 係数は「1,3,3,1」のパターンに対応しているか（ここでは 8,-12,6,-1）
• (a - b)³ なので、2番目と4番目の符号が「-」になっているか

【例題4】x³ + 27 を因数分解してみよう

ポイント

• 27 = 3³ と見抜く
• 和の三乗公式
  a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  を使う

手順

• x³ + 27 = x³ + 3³ と書き直す
• 公式に代入していく
  
  • かっこの前：(x + 3)
  • かっこの中：
    1. ■ x²
    2. ■ -3x
    3. ■ 9

答え

x³ + 27 = (x + 3)(x² - 3x + 9)

三乗の展開公式を「逆向き」に使うと、こうした因数分解がスムーズにできるようになります。

【例題5】8x³ - 27y³ を因数分解してみよう

ポイント

• 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ と見る
• 三乗の差の公式
  a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
  を使う

手順

• 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ と書き直す
• 公式に代入する

答え

8x³ - 27y³ = (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

a³ ± b³ の公式は、数字や文字を「何の3乗か」に分解できるかどうかがカギになります。見た瞬間に「これは3乗だ」と分かるよう、8 = 2³、27 = 3³ などの基本も確認しておきましょう。

【例題6】x³ + 9x² + 27x + 27 を三乗の形として見抜こう

ぱっと見で展開公式とは分かりにくいですが、これは

(x + 3)³ を展開した形
になっています。ここでは「3乗のかたまりを見抜く力」を鍛えます。

ポイント

• まずは係数の並びに注目する
  1,9,27,27
• すべて 1 に対して「3の倍数」になっているかを見る
• 定数項 27 から、「3³」が隠れていそうだと考える

手順

• 「x + 3 の3乗かもしれない」と仮定してみる
• (x + 3)³ を頭の中で展開する
  
  • 係数パターンは 1,3,3,1
  • a を x、b を 3 とすると
    1. ■ 1つ目：x³
    2. ■ 2つ目：3x²・3 = 9x²
    3. ■ 3つ目：3x・3² = 27x
    4. ■ 4つ目：3³ = 27

元の式とぴったり一致することを確認する

答え

x³ + 9x² + 27x + 27 = (x + 3)³

三乗の展開公式は、「展開する」だけでなく、このように「まとまった三乗の形に戻す」ためにも使える、ということを押さえておきましょう。

ここまでの例題で、

• 三乗の展開
• a³ ± b³ の因数分解
• 三乗の形への「まとめ戻し」

まで一通り触れることができました。

テストでやりがちなミスと「3ステップ」チェック

三乗の展開公式は、覚えたつもりでもミスしやすいポイントがいくつかあります。
テスト前に、次の3つだけは意識してチェックしておきましょう。

よくあるミス

• 係数の 3 をつけ忘れてしまう
  • 例：(a + b)³ を a³ + a²b + ab² + b³ と書いてしまう
• (a - b)³ の符号をまちがえる
  • 2番目と4番目の符号をそろえてしまう など
• 項の数が足りなかったり、多かったりする
  • 4項になるはずなのに、3項しか書いていない など

本番で使える「3ステップ」チェック

三乗の展開をしたあと、見直しで次の順番で確認してみてください。

1. 1. 項の数は4つあるか
   • 「3乗の展開＝4項」と覚えておく
2. 2. 係数は 1,3,3,1になっているか
   • 文字を消して、数字だけ見てチェックする
3. 3. (a - b)³ のとき、2番目と4番目が「−」になっているか
   • 符号だけを一度ながめて確認する

この3ステップを毎回くり返しておくと、
計算ミスがぐっと減り、「三乗の問題＝落としてはいけないサービス問題」に変わっていきます。

どこまで覚えればOK？定期テストと入試での「優先順位」

三乗の公式は全部を一気に完璧にしなくても大丈夫です。
「いまの自分」に必要なラインをはっきりさせておきましょう。

定期テストでおさえたいライン

まずはここを目標にしてください。

• (a + b)³,(a - b)³ を迷わず書ける
• (x + 2)³,(2x - 1)³ などの展開がスムーズにできる
• 展開後に
  • 4項あるか
  • 係数が「1,3,3,1」に対応しているか
  • (a + b)³ で 2番目・4番目の符号が「-」かを自分でチェックできる

ここまでできれば、定期テストでは十分戦えます。

模試・入試を見すえたライン

余裕が出てきたら、次のレベルも目指しましょう。

• a³ ± b³ の因数分解公式を使える
• x³ + 9x² + 27x + 27 を見て、「(x + 3)³ だ」と見抜ける

自分の「いまのゴール」を決めておこう

• まずは「(a ± b)³ を確実に」
• 次に「a³ ± b³ の因数分解にもチャレンジ」

というように、段階を分けて目標を決めておくと、学習計画も立てやすくなります。

この記事のまとめ

ここまでの内容を、テスト前に見返せるようにコンパクトにまとめます。

三乗の展開公式でおさえたいポイント

• 「三乗まわり」は
  • (a ± b)³ の展開
  • a³ ± b³ の因数分解をセットで整理して覚える
• 係数はいつも「1,3,3,1」
  • (a - b)³ では 2番目と4番目だけ符号が「−」
• 公式は丸暗記だけでなく、
  • (a + b)³ = (a + b)²(a + b) から自分で作り直せるようにしておくと安心
• 典型問題（展開・因数分解・三乗の形を見抜く問題）を、少なくとも5題は自力で解けるようにしておく
• 計算後は
  • 「4項あるか」
  • 「係数1,3,3,1か」
  • 「符号パターンは正しいか」
    という3ステップチェックでミスをつぶす
• 今日解いた例題の中から、『あやしい』と感じたものを洗い出す
  • 例：
    1. ■ 「(2x - 1)³の展開をもう1回」
    2. ■ 「x³ + 27 の因数分解を復習」 など
• 「毎日1問だけ三乗の問題を解く」という目標をセットして、スキマ時間に取り組む
• 迷わず解けるようになった問題にはチェックをつけて、復習頻度を下げていく

三乗の展開公式は、一度身につけてしまえば、これから先の単元や入試問題でも長く使える「計算の道具」です。

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