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【指数・対数関数】1/√aを（1/a）＾r の形になおす方法

1/√aを（1/a）＾r の形になおす方法

解答では，底を1/2にそろえていましたが，1/√2 を1/2にどのようにしてそろえるのかわかりません。お願いします。

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問にお答えしましょう。

【質問の確認】

【問題】

不等式0.53x−1＞1/√2 を解け。

の解答で，両辺を底 1/2 にそろえて，

(1/2)^3x−1＞√(1/2) 　(1/2)^3x−1＞(1/2)^(1/2) (1/2)^3x−1＞√(1/2) 　(1/2)^3x−1＞(1/2)^(1/2)

と変形しているが，右辺の1/√2 がなぜ (1/2)^(1/2) となるのかわからない。
というご質問ですね。

【解説】

まず，1/√2 ＝√(1/2) と表すことができるのは大丈夫でしょうか？

1/√2 ＝ √1/√2＝√(1/2) 1/√2 ＝ √1/√2＝√(1/2)

そこで，√(1/2) を累乗の形にすればよいですね。

ここで，次の定義を使います。

a ＞ 0 で，m，n が正の整数，r が正の有理数のとき，

a^(m/n)＝^n√(a^m) ・・・☆，a−r＝1/a^r a^(m/n)＝^n√(a^m) ・・・☆，a−r＝1/a^r

☆と定義することで，指数法則において指数を有理数の範囲にまで拡張することができます。
これより，累乗根の計算は指数に直して指数法則を利用するとよいでしょう。

ここでは，1/2 をかたまりとみなして，☆を^n√(a^m)＝a^(m/n) （左辺と右辺を入れかえる）として使います。
そこで，●＝1/2 とおくと，

√● ＝^2√(●^1)＝●^(1/2)　^2√a は √a と書くことに注意！ √● ＝^2√(●^1)＝●^(1/2)　^2√a は √a と書くことに注意！

つまり，

√(1/2)＝^2√((1/2)^1)＝(1/2)^(1/2) √(1/2)＝^2√((1/2)^1)＝(1/2)^(1/2)

となります。
そこで，

1/√2 ＝ (1/2)^(1/2) 1/√2 ＝ (1/2)^(1/2)

と表すことができるのです。
これで，問題の不等式は底を 1/2 にそろえることができます。

【アドバイス】

定義を利用して累乗根を指数に直す方法はしっかりと覚えておきましょう。 また，下の指数法則も合わせて復習しておいてくださいね。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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「進研ゼミ　ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
通信環境

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  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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