回転体の体積の求め方は？──積分を使った計算方法と公式を知りたい

回転体の体積の求め方を確認しよう

回転体とは、平面図形を直線 (回転軸) の周りに 1 回転させてできる立体です。円柱、円錐、球など、身近にある多くの立体が回転体です。これらの体積を求めるには、積分という強力な道具を使います。

ここでは、回転体の体積を求める基本公式と計算手順をまとめました。

回転体の体積を求める4ステップ

• ステップ1: 回転軸を確認する( x 軸、y 軸、他の直線)
• ステップ2: 公式を選択する (円盤法 or 円筒法)
• ステップ3: 関数を代入する (必ず 2 乗することを確認)
• ステップ4: 積分を計算する (積分区間に注意)

ひと目でわかる"回転体の体積公式早見表"

回転軸	方法	公式
x 軸周り	円盤法
y 軸周り	円筒法 (バウムクーヘン法)
y=k 周り	円盤法 (軸平行移動)
2 曲線で囲まれた図形 (x 軸周り)	円盤法 (差)

回転体の基本原理

回転体の体積は、立体を微小な厚さの円盤 ( x 軸周り) または円筒 ( y 軸周り)に分割し、それぞれの体積を積分で足し合わせることで求めます。

円盤法(x軸周り):

微小区間 dx での円盤の体積

全体の体積

円筒法(y軸周り):

半径 x、高さ f(x)、厚さ dx の円筒の体積 =2πxf(x)dx

全体の体積

x 軸周りの回転体 (円盤法)

例題1: 直線を回転させた円錐の体積

問題:y=x (0 ≦ x ≦ h ) を x 軸周りに回転させてできる円錐の体積を求めよ。

解答・解説

【ステップ1】回転軸を確認

x 軸周りの回転なので、円盤法を使います。

【ステップ2】公式に代入

【ステップ3】積分を計算

答:

例題2: 半円を回転させた球の体積

問題:(-r ≦ x ≦ r )を x 軸周りに回転させてできる球の体積を求めよ。

解答・解説

【ステップ1】公式に代入

【ステップ2】積分を計算

答:

例題3: 放物線を回転させた立体

問題:()を x 軸周りに回転させてできる立体の体積を求めよ

解答・解説

【ステップ1】公式に代入

【ステップ2】積分を計算

答:

y 軸周りの回転体 (円筒法・バウムクーヘン法)

円筒法の原理

y 軸周りの回転では、半径 x、高さ f(x)、厚さ dx の薄い円筒 (バウムクーヘンの層のような形) に分割して考えます。

円筒の体積:

円筒の側面積 × 厚さ =2πxf(x)dx

これを積分すると、

例題: 直線を y 軸周りに回転させた円錐

問題:y=x()を y 軸周りに回転させてできる円錐の体積を求めよ。

解答・解説

【ステップ1】円筒法の公式に代入

【ステップ2】積分を計算

答:

注意:y 軸周りの回転では、x 軸周りの場合と公式が異なります。必ず 2πx ・ f(x) の形を使います。

2つの曲線で囲まれた図形の回転体

2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) で囲まれた図形を x 軸周りに回転させる場合、外側の円盤から内側の円盤を引きます (ドーナツ型)。

例題: 2曲線で囲まれた図形の回転体

問題:y=2 と y=x² で囲まれた図形を x 軸周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答・解説

【ステップ1】交点を求める

より

よって, 積分区間は

【ステップ2】公式に代入

外側: y=2、内側: y=x²

【ステップ3】積分を計算

偶関数なので、

答:

勉強の進め方と練習方法のアドバイス

• 必ず図を描く: 回転体を正確に理解するには、元の図形と回転軸を必ず図示しましょう。立体をイメージすることが第一歩です。
• 回転軸を確認: x 軸か、y 軸か、他の直線かを明確に確認してから公式を選びます。これを間違えると全く違う答えになります。
• 2 乗を忘れない: x 軸周りの回転では {f(x)}² と必ず 2 乗します。これが最も多いミスです。
• πの位置を確認: 円盤法では π が積分の外、円筒法では 2π が積分の外に出ます。π を 2 つ付けたり、忘れたりしないように。
• 積分区間を正確に: 図形の範囲から積分区間 [a, b] を正しく決定します。交点を求める必要がある場合もあります。

練習は、たとえば「入門問題 2 題→標準問題 3 題→実戦問題 2 題→仕上げの小テスト 10問」といった順で進めると、理解が深まるはずです。

間違えた問題は、原因別に整理します (回転軸の間違い / 2 乗忘れ/積分計算ミス / π の付け忘れなど)。翌日に同じタイプの問題を 1 問だけ解き直すことで、ミスの再発を防げます。

回転体の体積と関連するその他の重要知識

回転体の体積ができるようになると、積分の応用力が一気に深まります。ここでは、次のステップとして押さえておきたい重要な知識を確認していきましょう。

• 曲線の長さ: 曲線 y=f(x) の長さも積分で求められます。 の公式を使います。
• 回転体の表面積: 回転体の側面積も積分で求められます。の公式があります。
• 媒介変数表示の回転体: x=x(t), y=y(t) で表される曲線の回転体も計算できます。
• パップス・ギュルダンの定理: 重心を使った回転体の体積・表面積の別解法もあります。

余裕があれば、極座標表示の回転体や、3 次元空間での回転体など、より高度な応用にも挑戦してみましょう。

まとめ | 回転体の体積のポイント

ここまでの内容を振り返り、押さえておくべき回転体の体積のポイントを整理しましょう。

回転体の体積は積分を使って求める

x 軸周り(円盤法):

y 軸周り(円筒法):

計算のコツ:

• 必ず図を描く (立体をイメージ)
• 回転軸を確認 (x 軸 or y 軸 or 他)
• 2 乗を忘れない (x 軸周りの場合)
• π の位置を確認 (積分の外)
• 積分区間を正確に設定

よくある間違いと対策:

• 回転軸を間違える → 問題文を正確に読む
• 2 乗を忘れる → {f(x)}² と必ず書く
• π を忘れる → 公式を正確に覚える
• y 軸周りで円盤法を使う → 円筒法 2πxf(x) を使う
• 2 曲線の差を取らない → {f(x)}²-{g(x)}² の形

回転体の体積をマスターして、積分の応用を得意にしよう!

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