順列の公式 _nP_rをいつ使う？ n と r の決め方・典型問題までまとめて解決！

【質問の確認】今回のポイントはここ！

あなたの悩みは、まとめると次の3つです。

1. 1. 順列の公式（）の形は分かるけど、自信がない
2. 2. 問題文から n（候補数）と r（並べる数）を決められない
3. 3. 0が入る、条件が付く…などで、急にミスが増える

このあと解説で、①②③を順番に解決していきますね。

まずはここだけ！順列の公式まとめ（超重要）

順列は、ひとことで言うと「順番を区別して並べる」ときに使います。

表：順列の基本（テストで最優先）

やりたいこと	公式	ひとことで言うと
n個からr個を選んで並べる		先頭から席を埋める
n個を全部並べる	n!	全員を並べる

そして、 は次の2つの形で表せます。

この「～で並べる形」が分かると、n と r の決め方も一気に楽になります。

【結論】nとrは「席の数」で決める！30秒判断フロー

順列の最大のコツはこれです。

• n = 選べる候補の数
• r = 実際に並べる（決める）数＝席の数

公式を思い出すより先に、「何席ぶん決める問題か？」を見ると迷いにくくなります。

まずは30秒で決まる！順列チェック（判断フロー）

次の順でチェックすると、ほぼ迷いません。

1. 1. 順番が変わると別物？
   → YESなら「順列」を考える
2. 2. 全部を並べる？
   → YESなら n!
3. 3. 一部だけ並べる？
   → YESなら
4. 4. 条件がある？（先頭0禁止、偶数、隣り合う…）
   → 条件を先に固定してから数える

「nとr」を決める練習（ここが一番大事）

よく出る言い方を、テンプレにしておきましょう。

表：nとrの決め方テンプレ

問題の言い方	n（候補）	r（席の数）	使う式
6人から3人を順に並べる	6	3	6P3
A〜Eの5人を並べる	5	5	5!
0〜9で4桁を作る（条件なし）	10	4	10P4（※先頭0がOKなら）

ポイントは、rはいつも“何個決めるか”です。
「3人を並べる」なら3席、「4桁を作る」なら4席、と考えると自然に決まります。

ここで一度、超ミニ例で確認！

• 「7人から2人を選んで、前から順に並べる」
  → 候補は7人（n = 7）、並べるのは2人（r = 2）なので ₇P₂
• 「7人を一列に並べる」
  → 全部並べる（r = 7）なので 7!

【解説】数字の並べ替えは「先頭 or 末尾」を先に固定すると勝てる

数字の並べ替えでミスが増える理由はシンプルです。
条件を無視していきなり _nP_r を当てはめると、数えすぎたり数え漏れたりしやすいからです。

ここでは、定期テストでよく出る2パターンを整理します。

パターン① 先頭が0禁止（4桁の整数など）

「0〜9の数字を使って4桁の整数」では、先頭が0だと整数になりません。
だから、先頭だけは特別扱いします。

解き方の型（先頭0禁止）

1. 1. 先頭（千の位）を決める：0以外から選ぶ
2. 2. 残りの桁を順列で並べる：残った候補を上から埋める

表：先頭0禁止の処理

どこを固定？	候補	その後どうする？
先頭（千の位）	0以外の9通り	残りは「残った9個から3個を並べる」

例（考え方だけ先に）

0〜9の数字を重複なく使って4桁の整数を作る（先頭0不可）。

• 先頭：1〜9の9通り
• 残り3桁：残った9個から3個を並べる → ₉P₃

よって 9 × ₉P₃通り、という形になります。

ここで₁₀P₄としてしまうのが、いちばん多いミスです。
先頭0の並びも数えてしまうので、答えが大きくズレます。

パターン② 「偶数になる」＝末尾（1の位）を固定

偶数という条件は、実はとても親切です。偶数かどうかは1の位だけで決まるので、最後を先に決めればOKです。

解き方の型（偶数条件）

1. 1. 1の位（末尾）を偶数から選ぶ
2. 2. 残りの桁を順列で並べる

偶数の候補は0,2,4,6,8の5つですが、ここで注意が1つあります。
先頭0禁止とセットのときは、0を末尾に置く場合と置かない場合で、先頭の候補数が変わることがあるんです。

そこで、ミスを減らすために次のチェックを入れます。

表：偶数条件のチェックポイント

条件	まず固定する桁	次に気をつけること
偶数	末尾（1の位）	0を使ったとき、先頭候補が変わらないか
先頭0禁止	先頭（千の位）	0を先頭にしない

【ここまでのミニまとめ】数字問題はこの2手で安定！

• 先頭0禁止 → 先頭を先に固定してから、残りを並べる
• 偶数条件 → 末尾を先に固定してから、残りを並べる

条件付きの並べ方は「固定してから数える」で一気に楽になる

「隣り合う」「交互に並ぶ」「両端にくる」みたいな条件が出ると、急に難しく感じますよね。
でも実は、順列の条件問題はほとんどが次の方針で解けます。

• まず 条件を満たす形を作って固定
• あとは 残りを順列（または階乗）で数える

ここでは、定期テストで頻出の3パターンを紹介します。

パターン① 隣り合う（ブロック化）

AとBが隣り合う、のような条件は くっつけて1つにするのが鉄板です。

考え方

• 「AB」を1つのかたまり（ブロック）として扱う
• そのブロックと残りを並べる
• 最後に、ブロックの中の並び（ABかBAか）も忘れず数える

表：隣り合う問題の処理

手順	やること	何通り？（例：A,B,C,D,E でAとBが隣）
1	ABを1つのブロックにする	ブロック＋CDEで計4つ
2	4つを並べる	4!
3	ブロック内を並べる	2通り（AB/BA）

よって答えは 4! × 2 になります。

パターン② 交互に並ぶ（枠を作る）

「男子と女子が交互」みたいな問題は、先に“枠（場所）”を作ると整理できます。

考え方

1. 1. まず人数が多い側を並べる
2. 2. その間にできるスキマ（枠）にもう一方を入れる
3. 3. 入れ方は順列で数える

ミスしがちなポイント

パターン③ 両端が決まる（端から固定）

「両端にAとBがくる」「端は必ずC」など、端に条件があるときは 端を先に決めると簡単になります。

考え方

• 端の2席を先に埋める（順番も数える）
• 残りを並べる

表：両端固定の処理（例：A,B,C,D,E で両端がAとB）

どこを先に決める？	何通り？	残りは？
左右の両端	2通り（AB/BA）	残り3人を並べる→3!

よって答えは 2 × 3! です。

【ここまでのミニまとめ】条件問題の合言葉はこれ！

• 隣り合う → ブロック化
• 交互 → 枠を作って入れる
• 両端 → 端を先に固定

【例題で確認】順列の公式が使えるようになる5問

ここからは「問題を見た瞬間に、nとrが決まる」ことを目標に、よく出る例題を5つやります。
どの問題も、考え方は同じです。

• まずどこを決める問題か（席の数- r）を見る
• 条件があれば 固定してから数える

例題1（基本）6人から3人を順に並べる

問題：6人A〜Fから3人を選び、前から順に並べる並べ方は何通り？

どこがnとr？

• n：候補は6人
• r：並べるのは3人（3席）

式

　₆P₃

答え

• 6 × 5 × 4 = 120通り

例題2（基本）7冊を1列に並べる

問題：異なる7冊の本を1列に並べる並べ方は何通り？

• 全部並べるので「順列」より階乗が楽

式

　7!

答え

• 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040通り

例題3（頻出）0〜9で4桁の整数（先頭0不可）

問題：0〜9の数字を重複なく使って4桁の整数を作る（先頭は0以外）。何通り？

まず固定するところ

• 先頭（千の位）は0にできない

手順

1. 1. 先頭：1〜9から選ぶ → 9通り
2. 2. 残り3桁：残った9個から3個を並べる → ₉P₃

式

　9 × ₉P₃

答え

• 9 × (9 × 8 × 7) = 9 × 504 = 4536通り

例題4（頻出）0〜9で4桁の偶数（先頭0不可）

問題：0〜9の数字を重複なく使って4桁の偶数を作る（先頭0不可）。何通り？

偶数は「末尾（1の位）が偶数」で決まるので、末尾を先に固定します。
ただし、末尾が0かどうかで条件が少し変わるので、場合分けが安全です。

場合分け

• 偶数の候補：0,2,4,6,8

表：場合分けの整理

末尾	末尾の選び方	先頭（千の位）の候補	残り2桁の並べ方	通り数
0	1通り	1〜9の9通り	残り8個から2個を並べる → 8P2	9 × 8P2
2,4,6,8	4通り	0以外で末尾以外 → 8通り	残り8個から2個を並べる → 8P2	4 × 8 × 8P2

計算

₈P₂ = 8 × 7 = 56

末尾0：9 × 56 = 504

末尾2,4,6,8：4 × 8 × 56 = 1792

答え

• 504 + 1792 = 2296通り

例題5（定期テスト頻出）AとBが隣り合う

問題：A,B,C,D,Eを1列に並べる。AとBが隣り合う並べ方は何通り？

まず固定するところ

• AとBをブロック化（ABを1つのかたまり）

手順

1. 1. ABを1ブロックとみて、（AB）,C,D,E の4つを並べる → 4!
2. 2. ブロック内は AB / BA の2通り → × 2

式

　4! × 2

答え

24 × 2 = 48通り

【この5問で身につくこと】

• 基本は「n = 候補」「r = 席の数」で決める
• 数字問題は「先頭 or 末尾」を固定してから数える
• 条件付きは「ブロック化／枠／端固定」で整理できる

【アドバイス】順列の“あるあるミス”は3つだけ！ここを直せば点が伸びる

例題が解けても、テスト本番で落としやすいのは「考え方」ではなく、ちょっとした見落としです。
順列の失点パターンは、だいたい次の3つに集約できます。

ミス① nとrが逆になる（候補と席が入れ替わる）

よくある状況

• 「6人から3人を並べる」なのに、₃P₆のような形にしてしまう

直し方（チェックの合言葉）

• r = 席の数（実際に決める数）
• n = 候補の数（選べる人数・数字の種類）

ワンポイント

• 問題文に「3人」「4桁」のように“決める個数”が出てきたら、それがまず r です。

ミス② 条件を無視していきなり_nP_rにする

よくある状況

• 「4桁の整数（先頭0不可）」を、₁₀P₄としてしまう
• 「偶数」を意識せず、最後を固定しない

直し方（チェックの合言葉）

• 条件があるときは、必ず
  1. 1. 固定できる桁（先頭・末尾・端）を先に決める
  2. 2. 残りを順列で数える
     　の順にします。

表：条件が出たときの最短対応

条件の言葉	まず固定する場所	ねらい
先頭0不可	先頭	0を除外して数えすぎ防止
偶数	末尾	偶数条件を一発で反映
両端	端	条件を先に満たしてから並べる
隣り合う	ブロック	くっつけて数える

ミス③ 「全部並べるのに _nP_r」を使って計算が崩れる

よくある状況

• 全部並べる問題で、わざわざ _nP_n を書いて混乱する
• 階乗の約分をミスして時間を溶かす

直し方（チェックの合言葉）

• 全部なら 迷わず n!
• 一部なら _nP_r

表：式選びの最短ルール

状況	使う式	見分ける言葉
全部並べる	n!	「全員」「全部」「n個を並べる」
一部だけ	nPr	「n個からr個」「r人を並べる」

【最後にひとこと】迷ったら“積の形”に戻ろう

順列は、式よりも「先頭から席を埋める」イメージが強い単元です。
迷ったら、いきなり階乗にせず

n × (n − 1)× … × (n − r + 1)

の形に戻すと、今どこまで数えているかが見えやすくなります。

まとめ：順列の公式は「席の数」と「固定→残り」で解けるようになる

• 順列は 順番が変わると別物になるときに使う
• n = 候補の数、r = 並べる数（席の数）と決めると迷いにくい
• 一部を並べるときは _nP_r = n × (n - 1)× … ×(n - r + 1)（必要なら階乗形へ）
• 全部を並べる問題は n! を使うと計算が安定する
• 数字の並べ替えは 先頭0禁止→先頭固定、偶数→末尾固定が鉄則
• 条件付きは 隣り合う→ブロック化、交互→枠を作る、両端→端から固定で整理できる
• 迷ったら「条件を先に満たす部分を固定してから、残りを順列」で数える

順列は、理解できても 演習量が足りないと本番でミスが残りやすい単元です。

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