【数列】漸化式とは？意味・読み方から一般項の求め方まで、型で一気に整理！

【質問の確認】漸化式って何をする式？

あなたの質問を一言でまとめると、こうです。

• 「漸化式の意味があいまいで、一般項までどう進めばいいか分からない」

ここを解決するために、まずは漸化式の“役割”をはっきりさせます。

漸化式の定義（まずは1行）

漸化式とは、
次の項 a_n+1が、前の項 a_n（またはそれより前の項）で決まる式のことです。

言い換えるなら、数列の作り方の説明書です。

超ミニ例でイメージを作ろう

たとえば次のような漸化式を見てください。

• 初項：a₁ = 2
• 漸化式：a_n+1 = a_n + 3

このとき、a₂以降は順番に決まります。

項	計算	値
a1	ー	2
a2	a1 + 3	5
a3	a2 + 3	8
a4	a3 + 3	11

ポイントはここです。

• 初項 a₁ とルール（漸化式）があれば、数列が1通りに決まる

つまり漸化式は、数列を「作る」ための式なんですね。

よくある誤解（ここでつまずきやすい！）

誤解1：漸化式は「隣同士」だけ？

たしかに a_n+1をa_n で表す形が多いです。

でも、漸化式はそれだけではありません。

• 例：a_n+2 = a_n+1 + a_n（前の2つで次が決まる）

「前の項（1個とは限らない）で次が決まる式」と覚えるのが安全です。

誤解2：項を出せたら終わり？

a₂、a₃…を計算できるのは大切です。
ただしテストでは、ここで止まると困ります。

なぜなら問題ではよくこう聞かれるからです。

• 「一般項 a_n を求めよ」
• 「a₁₀₀ を求めよ」
• 「和 S_n を求めよ」

項を100個書くわけにはいかないので、nだけで表せる式（一般項）が必要になります。

一般項って何？

一般項 a_n とは、
nを入れたら、その項がすぐ計算できる形のことです。

たとえばさっきの数列 2,5,8,11,… は、

a_n = 2 + 3(n - 1)と書けます。
この式があると、a₁₀₀も一発で求められます。

【解説】まずはここ！漸化式の「型」を見分ける表

漸化式が苦手になる一番の原因は、解き方を思い出す前に「どの型か」で迷うことです。
そこでまずは、漸化式を見た瞬間に方針が立つように、型を整理します。

① 型の見分け表（この表だけで最初の一手が決まる）

漸化式の形	何をチェックする？	最初の一手	目標
an+1 = an + d	差が一定？	an+1 - an を見る	等差の一般項
an+1 = ran	比が一定？	を見る	等比の一般項
an+1 = pan + q	定数が足される？	ずらして等比にする	一般項へ
an+1 - an = f(n)	差がnの式？	差を足し上げる	一般項へ

この表のポイントは、「暗記」ではなく判定の材料がはっきりしているところです。

② 3ステップ判定フロー（迷ったらこれだけ）

漸化式を見たら、次の順でチェックするとスムーズです。

• Step1：差を見る
  a_n+1 - a_n が一定 → 等差型
  a_n+1 - a_n が n の式 → 階差型
• Step2：比を見る（差で決まらないとき）
  が一定 → 等比型
• Step3：定数があるか見る
  a_n+1 = pa_n + q（q ≠ 0） → pa_n + q型
  ※この型は「ずらして等比」に落とすのが定番です

③ 例で判定してみよう（ここまでで方針が立てばOK）

次の4つは、さっきのQuestionにあった例です。

漸化式	まず見る場所	型
an+1 = an + 3	差：an+1 - an = 3	等差型
an+1 = 2an	比： = 2	等比型
an+1 = 3an + 6	定数 + 6 がある	pan + q型
an+1 - an = 2n	差がnの式	階差型

ここまでできれば、もう「何から始める？」で止まりません。

【解説】代表4パターンの解き方（一般項まで一気に）

ここからは、さっき判定した4つの型について、一般項 a_n を作る手順だけを短くまとめます。「型が分かったのに、一般項で止まる…」をここで解消しましょう。

1）等差型：a_n+1 = a_n + d

差がいつも d なら等差数列です

• 一般項：a_n = a₁ + (n - 1)d

ミスしやすい点は「dの符号」です。
たとえば a_n+1 = a_n - 3なら、d = - 3 と考えます。

2）等比型：a_n+1 = ra_n

比がいつも r なら等比数列です。

• 一般項：a_n = a₁r^n-1
  rが分数や負数でも、やることは変わりません。

3）pa_n + q型：a_{n + 1} = pa_n + q

この型は、定数 q のせいで等比にならないのがポイントです。
そこで、次の一手を覚えると一気に解けます。

コツ：a_n - α を作って等比にする

αを「ずらす量」として決めます。

• α は α = pa + q を満たすように選ぶ
  → （ただし p ≠ 1）

そして、b_n = a_n - α とおくと

• b_n+1 = pb_n（等比型）

になって、等比の一般項で解けます。

p = 1 のときは別扱いです（a_n+1 = a_n + q なので等差型になります）。

4）階差型：a_n+1 − a_n = f(n)

この型は、差が分かっているので、足し上げて元に戻すのが基本です。

• まず a₂ - a₁ = f(1)
• 次に a₃ - a₂ = f(2)
• …と足していくと、途中の a₂,a₃が消えていきます

結論だけ書くと、

となります。「差→和」へ戻すと覚えておくと迷いません。

【例題で確認】まずは5問で型を固めよう

ここからは、よく出る4パターンを例題5問で一気に確認します。各例題は「型の判定 → 最初の一手 → 一般項」の順でまとめます。

例題1（作り方の確認：項を出す）

a₁ = 1、a_n+1 = 2a_n + 1 のとき、a₂,a₃,a₄ を求めよ。

まずは順番に代入します。

項	計算	値
a1	ー	1
a2	2a1 + 1	3
a3	2a2 + 1	7
a4	2a3 + 1	15

• 漸化式は「次の項を作るルール」
• 初項があると数列が1通りに決まる

例題2（等差型：一般項）

a₁ = 4、a_n+1 = a_n - 3 の一般項 a_n を求めよ。

• 差を見る：a_n+1 - a_n = - 3（一定）
  → 等差型

よって、

a_n = a₁ + (n - 1)d

d = -3 を代入

答え：a_n = 4 - 3(n - 1) = 4 - 3n + 3 = - 3n + 7

つまずきポイント

例題3（等比型：一般項）

a₁ = 5、 の一般項 a_n を求めよ。

• 比を見る：
  → 等比型

一般項は

答え：

つまずきポイント

例題4（pa_n + q型：ずらして等比）

a₁ = 0、 a_n+1 = 3a_n + 6 の一般項 a_n を求めよ。

• 形が a_n+1 = pa_n + q
  → pa_n + q型 (p = 3、q = 6)

まず α を決めます。

やること	中身
α = pα + qを満たす α を探す	α = 3α + 6
両辺を整理	- 2α = 6
αを求める	α = - 3

次に b_n = a_n - α = a_n + 3とおきます。

すると、

b_n+1 = a_n+1 + 3

= (3a_n + 6) + 3

= 3(a_n + 3)

= 3b_n

よってb_nは等比数列です。

b₁ = a₁ + 3 = 3

b_n = 3・3^n-1 = 3ⁿ

最後に戻します。

a_n = b_n - 3

答え：a_n = 3ⁿ - 3

つまずきポイント

例題5（階差型：差を足し上げる）

a₁ = 1、a_n+1 - a_n = 2nのとき、a_n を求めよ。

差を並べます。

a₂ - a₁ = 2・1

a₃ - a₂ = 2・2

…

a_n - a_n-1 = 2(n - 1)

これらを全部足すと、途中が消えます。

足し上げると…	残る形
(a2 - a1) + (a3 - a2)+ … +(an - an-1)	an - a1
2・1 + 2・2 + … + 2(n - 1)	2(1 + 2 + … + n - 1)

よって

a_n - a₁ = 2(1 + 2 + … + n - 1)

1 + 2 + … + n - 1 は なので、

a_n - 1 = 2・

a_n - 1 = n(n - 1)

答え：a_n = n(n - 1) + 1

つまずきポイント

【つまずき対策】ミスが減るチェックリスト＋検算のコツ

例題が解けても、テストでは「小さなミス」で落としやすい単元です。ここでは、よくある失点パターンを先に潰します。

つまずき対策チェックリスト（当てはまったら要注意）

• 型の判定をせずに、いきなり計算を始めている
• a₂,a₃,…を出して満足して、一般項に戻らない
• pa_n + q型で、qがあるのに等比の公式をそのまま使っている
• 階差型で、a_n+1 - a_nを見たのに足し上げずに止まる
• 一般項を作ったのに、初項 a₁ を代入して確認していない

特に3つ目は頻出です。a_n+1 = pa_n + q で q ≠ 0のときは、まず「ずらす」が基本になります。

pa_n + q型で迷わないための1行メモ

• a_n - αを作る（α は α = pα + qを満たす）

これを思い出せれば、途中で詰まりにくくなります。

検算のコツ（最短で“合ってる”が分かる）

一般項を出したら、次の順で確認すると安心です。

1）まず a₁ を代入して合うか確認

• a_nに n = 1を入れて、ちゃんと a₁ になるかを見る
  ここでズレたら、指数の n - 1や定数の戻し忘れが疑えます。

2）次に漸化式へ戻して確認（最強のチェック）

• a_n の式から a_n+1 を作って、元の漸化式と一致するか確かめます

確認の流れを表にするとこうです。

やること	目的
an に n = 1 を入れる	初項ミスの発見
an+1を作る	漸化式に戻す準備
an+1と右辺を比べる	公式・変形ミスの発見

この検算を1回入れるだけで、「なんか不安…」がかなり減ります。

まとめ

• 漸化式は前の項から次の項を作るルールを表す式
• 迷ったら先に型を判定する
  • 差が一定 → 等差型
  • 比が一定 → 等比型
  • a_n+1 = pa_n + q → pa_n + q型
  • a_n+1 - a_n = f(n) → 階差型
• pa_n + q型はa_n - α にずらして等比に落とすのが定番手
  • α は α = pα + q を満たすように決める
• 階差型は差を足し上げて元に戻す
• 一般項を作ったら、必ず
  • n = 1で初項チェック
  • 「漸化式に戻して検算」を入れるとミスが減る

漸化式は、理解よりも「型の判定→型通りに解く」を反復した人から安定します。

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