三次方程式とは？──解の個数と因数定理による解き方を知りたい

三次方程式の解き方の手順と考え方

三次方程式の解法は、見た目が複雑に感じますが、因数定理 → 組立除法 → 二次方程式の順番さえつかめばスムーズに解けるようになります。まずは「有理数解の候補をどう見つけるか」「組立除法をどう使うか」を整理し、基本の流れをつかむことが最初の一歩です。

ここでは、判断のコツと計算の進め方をまとめました。

三次方程式を解く4ステップ

• ステップ1: 有理数解の候補を探す( ± 定数項の約数/最高次係数の約数)
• ステップ2: 候補を代入して f(a) = 0 となるものを見つける
• ステップ3: (x - a) で組立除法を使って割る
• ステップ4: 残った二次方程式を因数分解または解の公式で解く

ひと目でわかる"三次方程式の解法パターン早見表"

方程式の形	解法	例
x3 ± a3 = 0	立方の和・差の公式	x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
x3 = k	両辺の立方根をとる	x3 = - 8 → x = - 2
共通因数あり	因数でくくる	x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2
一般の三次方程式	因数定理 + 組立除法	下の練習問題参照

因数定理の使い方と組立除法のコツ

因数定理とは: f(a) = 0 ならば、f(x) は (x - a) で割り切れるという定理です。

有理数解の候補の見つけ方:

有理数解は「± (定数項の約数) / (最高次係数の約数)」の形

例: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 の場合

候補: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

組立除法の利点:

• 筆算より計算が速い
• 途中式が整理されていて見やすい
• 計算ミスが減る

三次方程式の練習問題

問題1: x³ - 7x + 6 = 0 を解け

解答・解説

この問題は因数定理を使って解きます。まず有理数解の候補を探しましょう。

【ステップ1】有理数解の候補

定数項: 6 (約数は ± 1, ± 2, ± 3, ± 6)
最高次係数: 1 (約数は ± 1 )
候補: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

【ステップ2】候補を代入

f(x) = x³ - 7x + 6 として

f(1) = 1³ - 7 × 1 + 6 = 1-7 + 6 = 0

x = 1 は解です。

【ステップ3】与えられた式を因数で割る

f(x) = x³ - 7x + 6 = (x - 1)(x² + x - 6)

【ステップ4】二次方程式を解く

x² + x - 6 = 0

(x + 3)(x - 2) = 0

x = -3,2

答: x = -3, 1, 2

問題2: 2x³ -5x² + x + 2 = 0 を解け

解答・解説

最高次係数が 1 でない場合も、同じ手順で解けます。

【ステップ1】有理数解の候補

定数項: 2 (約数は ± 1, ± 2 )
最高次係数: 2 (約数は ± 1, ± 2 )
候補:

【ステップ2】候補を代入

f(x) = 2x³ - 5x² + x + 2 として、

f(1) = 2 - 5 + 1 + 2 = 0

よって、x = 1 は解です。

【ステップ3】与えられた式を因数で割る

f(x) = 2x³ - 5x² + x + 2 = (x - 1)(2x² - 3x -2)

【ステップ4】二次方程式を解く

2x² - 3x -2 = 0, (2x + 1)(x - 2) = 0,

答:

ポイント: 最高次係数が 1 でない場合、有理数解の候補に分数も含まれます。分数の候補も必ず確認しましょう。

問題3: x³ - 27 = 0 を解け

解答・解説

この問題は立方の差の公式が使えます。

x³ -27 = x³ - 3³ なので、立方の差の公式を使います。

【ステップ1】因数分解

x³ - 3³ = (x - 3)(x² + 3x + 9) = 0

【ステップ2】x - 3 = 0 を解く

x = 3 (実数解)

【ステップ3】x² + 3x + 9 = 0 を解く

解の公式を使うと

答:

ポイント:

勉強の進め方と練習方法のアドバイス

• 最初の30秒で基本パターンを書き出す: テストが始まったら、余白に「立方の和・差の公式」と「因数定理の手順(候補→代入→組立除法→二次方程式)」を短くメモしておきます。
• 有理数解の候補は必ず全て書き出す: 整数だけでなく、分数の候補も忘れずに書き出しましょう。± 1 から順に試すと効率的です。
• 組立除法の各ステップを丁寧に: 組立除法は慣れれば速いですが、最初は各ステップを丁寧に行い、計算ミスを防ぎましょう。
• 検算の習慣をつける: 求めた解を元の方程式に代入して確認する癖をつけると、ミスに気づけます。
• 解と係数の関係で検算: 3 つの解が求まったら、α + β + γ、 αβγ などを計算して係数と一致するか確認します。

練習は、たとえば「入門問題 2 題→標準問題 3 題→実戦問題 2 題→仕上げの小テスト 10 問」といった順で進めると、理解が深まるはずです。

間違えた問題は、原因別に整理します(有理数解の候補の見落とし / 組立除法の計算ミス / 二次方程式の因数分解ミスなど)。翌日に同じタイプの問題を 1 問だけ解き直すことで、ミスの再発を防げます。

三次方程式と関連するその他の重要知識

三次方程式が解けるようになると、方程式と関数の世界が一気に広がります。ここでは、次のステップとして押さえておきたい重要な知識を確認していきましょう。

• 三次関数のグラフ: 増減表、極値、変曲点を学ぶと、解の個数の判定ができるようになります。
• 剰余の定理: f(x) を (x - a) で割った余りは f(a) であることを理解すると、因数定理がより深く理解できます。
• 高次方程式: 4 次方程式も因数定理を繰り返し使って解くことができます。

余裕があれば、三次方程式の解の個数を判別する方法 (判別式やグラフの利用) を学んでおくと、理解の土台が強まり計算の不安が減ります。

まとめ｜三次方程式のポイント

ここまでの内容を振り返り、押さえておくべき三次方程式のポイントを整理しましょう。三次方程式は、見た目が複雑でも「因数定理」で考えれば一気に簡単になります。

まず、与えられた式の

• 有理数解の候補はどれか
• どの候補が実際に解になるか

をはっきり見つけ、因数定理 → 組立除法 → 二次方程式という基本手順を固めることが第一歩です。

特殊な形(x³ ± a³、x³ = k など)は公式を使い、一般の形は因数定理、というように使い分けることで、ミスも減り、計算スピードも上がります。

三次方程式をマスターして、方程式の解法を得意にしよう!

三次方程式の理解は、高校数学の中でもつまずきやすい重要テーマです。しかし、

• 「因数定理をどう使えばいいかわからない」
• 「組立除法の計算でミスをしてしまう」
• 「有理数解の候補をどこまで調べればいいかわからない」

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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