三平方の定理の計算はどうやるの？公式の使い方と計算のコツを教えて

【解説】まずは三平方の定理の公式と「斜辺」をおさえよう

三平方の定理の計算でつまずきやすい原因の1つは，
「どの辺を a,b,c にするかがあいまいなまま計算を始めてしまうこと」です。まずは、公式と辺の名前をはっきり整理しておきましょう。

三平方の定理の公式

直角三角形について次の関係が成り立ちます。

a² + b² = c²

ここで，

• c：斜辺（直角の向かい側の，一番長い辺）
• a,b：直角をはさんでいる2本の辺（底辺・高さ）

という決まりがあります。

【チェック】次の図の直角三角形について，どの辺を a,b,c とおくか考えてみましょう。

• 直角をはさんでいる辺：3cm, 4cm
• 直角の向かい側の辺：5cm

このとき，

• 5cm の辺 → 斜辺なので c
• 3cm と 4cm の辺 → 直角をはさむ2辺なので a,b

とおくのが正しい考え方です。三平方の定理を使うときは，

「直角の向かい側の辺を見つけて，そこを必ず c にする」

というチェックから始めるようにすると，このあとの計算も安定していきます。

三平方の定理の計算パターン① 斜辺を求める

まずは、一番基本となる「斜辺を求めるパターン」から確認していきましょう。このパターンでは次の流れをしっかり身につけることが大切です。

直角三角形で, 直角をはさんでいる2本の辺 (a,b) が分かっているとき，斜辺 c は三平方の定理から次のように求められます。

計算のステップを整理すると、次のようになります。

1. 1. 直角の位置を確認し，「直角の向かい側の辺」を c と決める
2. 2. 直角をはさんでいる2本の辺を a,b とおく
3. 3. 三平方の定理 a² + b² = c² に数字を代入する
4. 4. a² + b² を計算して, c² の値を出す
5. 5. 最後に平方根をとって， を求める

実際に三平方の定理を使って斜辺の長さを求めましょう。

例題1

底辺が3cm，高さが4cmの直角三角形があります。このとき，斜辺の長さを求めなさい。

〈考え方〉

• 直角をはさんでいる辺が「3cm と 4cm」
• 直角の向かい側の辺が「求めたい斜辺 c」

なので，

a = 3, b = 4, c は斜辺

として式を立てます。

〈解き方〉

1. 1. 三平方の定理に代入する
   c² = 3² + 4²
2. 2. 二乗して足し算する
   c² = 9 + 16 = 25
3. 3. 平方根をとる
   

したがって，斜辺の長さは 5cm となります。

斜辺を求める問題では，次の点を意識しておきましょう。

• いきなり計算に入らず，斜辺（c）と他の2辺（a,b）を図で確認する
• a² + b² を計算したあと，最後にルートをつけ忘れない
• c² の値がきれいな平方数（25, 36, 49 など）なら正の平方根を答える

このパターンを, まずは「3,4,5」のような基本問題で確実にできるようにしておくと，
少し難しい数字が出てきても落ち着いて計算しやすくなります。

三平方の定理の計算パターン② 他の1辺を求める

次は，「斜辺ではない辺を求めるパターン」です。
ここでつまずく人が多いので式の立て方と計算のコツをしっかり整理しておきましょう。

斜辺ではない1辺を求めるときの基本

斜辺 c と, 他の1辺 a が分かっているとき, 残りの1辺 b は

a² + b² = c² ⇒ b² = c² - a²

という形で求められます。

流れをまとめると

1. 1. 一番長い辺を確認し，斜辺 c と決める
2. 2. 残りの1本の長さを a として，求めたい辺を b とおく
3. 3. 三平方の定理から
   b² = c² - a²
   をつくる
4. 4. c² - a² を計算する
5. 5. 最後に平方根をとり, b を求める

例題2

斜辺と1辺が与えられたとき、もう1辺を求めてみよう

【問題】

斜辺13cm, 一辺5cmの直角三角形の, もう一方の辺の長さを求めなさい。

〈考え方〉

• 一番長い辺 13cm → 斜辺 c
• 他の辺 5cm → a
• 求めたい辺 → b

とおきます。

〈解き方〉

まずは三平方の定理から式をつくります。

1. 1. 式を立てる
   a² + b² = c² ⇒ b² = c² - a²
   なので
   b² = 13² - 5²
2. 2. そのまま計算してもよいですが，ここで平方差の公式を使うとラクになります。
   平方差の公式
   c² - a² = (c + a)(c - a)
   を使うと，
   13² - 5² = (13 + 5)(13 - 5) = 18 × 8 = 144
   となります。
3. 3. 平方根をとる
   
   したがって, 残りの1辺の長さは 12cm です。

差の平方で計算をラクにしよう

「c² - a² を毎回, 13²や17²のように大きな二乗から引き算で計算している」と，途中で計算ミスが増えやすくなります。そこで，次の公式を活用しましょう。

差の平方の公式

c² - a² = (c + a)(c - a)

この公式を使うと，

13² - 5² を169 - 25と計算するのではなく(13 + 5)(13 - 5) = 18 × 8
と，小さな数の足し算・引き算・かけ算で処理できます。

三平方の定理の計算パターン③ 「逆」を使って直角三角形か判定する

三平方の定理は，「辺の長さを求める」だけでなく，その三角形が直角三角形かどうかを判定するときにも使えます。これを三平方の定理の逆 といいます。

判定の手順（ここが型！）

1. 1. 3辺のうち 一番長い辺を探す
2. 2. その辺を c とおく（候補が斜辺）
3. 3. 残りの2辺を a,b とおく
4. 4. a² + b² と c² を計算して比べる
5. 5. 等しければ直角三角形，等しくなければ直角三角形ではない

例題3

三平方の定理の逆を利用してみよう

【問題】

3cm, 4cm, 5cmの3辺をもつ三角形は直角三角形かどうか判定しなさい。

〈考え方〉

• 一番長い辺は 5cm → これを c とおく
• 残りは 3cm と 4cm → これを a,bとおく

〈計算〉

3² + 4² = 9 + 16 = 25

5² = 25

両方が同じなので，

この三角形は直角三角形

と判定できます。

【問題】

4cm, 5cm, 6cmの3辺をもつ三角形は直角三角形かどうか判定しなさい。

〈考え方〉

• 一番長い辺は 6cm → c = 6
• 残りは 4cm, 5cm → a = 4, b = 5

〈計算〉

4² + 5² = 16 + 25 = 41, 6² = 36

41 ≠ 36

なので，直角三角形ではないと分かります。

この「逆」の判定は，入試でも定期テストでもよく出ます。「最大の辺を c として, a² + b² と c² を比べる」この型を覚えておけば，落ち着いて処理できるようになります。

三平方の定理の計算パターン④ 特別な直角三角形で一瞬で計算する

三平方の定理の計算で時間がかかる人ほど，ぜひ身につけたいのが「特別な直角三角形」です。よく出る形を覚えておくと，毎回 a² + b² = c² を計算しなくても，
比（割合）だけで答えが一気に出ることがあります。

表：特別な直角三角形

パターン	辺の比	どんなときに出る？
ピタゴラス数	3:4:5	整数で長さが出る直角三角形
直角二等辺三角形		正方形の対角線が出るとき
30°,60°,90°の三角形		正三角形を2つに切った形

例題4

3:4:5 を使って一発で解く

【問題】

直角をはさむ2辺が 6cm と 8cm の直角三角形の斜辺を求めなさい。

〈考え方〉

6 と 8 は, 3:4 をそれぞれ2倍した数です。
つまり

3 × 2 = 6

4 × 2 = 8

となっているので，斜辺も 5 を2倍すればよいと分かります。

〈答え〉

5 × 2 = 10

したがって，斜辺は 10cm です。

例題5

（正方形の対角線）を使う

【問題】

一辺が7 cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。

〈考え方〉

正方形の対角線は，正方形を2つの三角形に分けると「直角二等辺三角形」になります。

直角二等辺三角形の比は

なので，一辺が7cmなら，

1にあたる部分が7cm

斜辺（対角線）は cm

になります。

〈答え〉

対角線の長さは cm です。

もよく出る

「正三角形を2つに切る」と 30° と 60°が出てきます。このときの比は

なので, 角度が書かれている問題で30° と 60°を見たら, この比を思い出せると強いです。

三平方の定理の計算パターン⑤ 座標平面の距離で使う（高校でよく出る！）

高校数学では，三平方の定理が 「座標の距離」 にそのまま登場します。ここがつながると「三平方の定理って結局いつ使うの？」かが一気にクリアになります。

なぜ座標の距離で三平方の定理が使えるの？

2点 A(x₁,y₁) とB(x₂,y₂) を考えます。
この2点を結ぶとき，横方向と縦方向の差に注目すると，

• 横の長さ：|x₂ - x₁|
• 縦の長さ：|y₂ - y₁|

で，直角三角形が作れます。

その斜辺が「2点間の距離」なので, 三平方の定理から

となります。

例題6

2点間の距離を求める

【問題】

点 A(1,2)，点 B(5,5) の距離 AB を求めなさい。

〈手順〉

1. 1. 横と縦の差を求める
   △x = 5 - 1 = 4
   △y = 5 - 2 = 3
2. 2. 三平方の定理で距離を出す
   

したがって，距離は 5 です。

三平方の定理の計算をラクにする「√」と因数分解のコツ（ミニ復習）

三平方の定理の計算ミスは実は「三平方」よりも √の整理 と c² - a² の処理で起きがちです。ここだけコンパクトに押さえましょう。

√の簡単化（平方数を外に出す）

√の中が「平方数 × それ以外」になれば外に出せる

例：

c² - a² が出たら「和と差の積」

• 他の1辺を求めるときに出やすい形
  b² = c² - a²
• ここで使える公式
  c² - a² = (c + a)(c - a)
  → 大きな二乗計算を避けられることがある
• 例： 17² - 9² = (17 + 9)(17 - 9) = 26 × 8 = 208

三平方の定理「計算ミスあるある」チェックリスト

ここまで分かっていても，テスト本番で失点しやすいのが「うっかりミス」です。
次のチェックリストで，自分がやりがちなミスを先に見つけておきましょう。

まずはチェック！

• 斜辺（c）を取り違える
  
  • 直角の向かい側ではない辺を c にしてしまう
• 「c²」まで求めて満足してしまう
  斜辺を求める問題で, c² の値で止まってしまう
• 最後の√をつけ忘れる
  
  • の形なのに，√を取る前の数を書いてしまう
• c² - a² を (c - a)²と書き間違える
• √の簡単化で外に出す数字を書き忘れる
  を にしてしまう，など
• 途中式を省略しすぎて写し間違いをする
  • 2乗した数や足し算の結果を，別の数字で書いてしまう

ミスを減らす「確認ポイント」3つ

テストでは次の3つだけでも確認すると失点が減ります。

1. 1. 最大の辺が斜辺（c）になっているか
2. 2. 求めたのは辺の長さそのものか
3. 3. 最後に√をとったか（√の簡単化もできているか）

すぐ使えるミス防止メモ（短く）

• 「直角の向かい側 = c」
• 「2乗で止まらない」
• 「最後に√」

この3つを, 問題の横に小さく書いてから解き始めるのもおすすめです。

【アドバイス】三平方の定理の計算を得意にする練習法

三平方の定理の計算は「才能」よりも 練習の順番で伸びやすい単元です。

テスト前は次の流れで練習すると効率よく安定します。

まずは「5つの型」で練習する（おすすめ順）

① 斜辺を求める()
→ まずここで「2乗→足す→√」に慣れる

② 他の1辺を求める(b² = c² - a²)
→ 「和と差の積でラクにできるか？」も一緒に練習

③ 三平方の逆で判定
→ 「最大の辺 = c」の確認が習慣になる

④ 特別な直角三角形()
→ 計算を短くする武器になる

⑤ 座標の距離
→ 2点間の距離(数Ⅱ)の問題につながるので最後に仕上げる

1問ごとに「これだけ」記録すると伸びる

問題を解いたら答え合わせの後に次の2点だけメモしましょう。

• この問題はどの型だった？（①〜⑤）
• ミスしたなら，原因はどれ？（チェックリストのどれに当てはまる？）

この2つが残ると「苦手の正体」がはっきりして同じミスが減っていきます。

三平方の定理の計算を得意にするためのまとめ

三平方の定理は直角三角形で

a² + b² = c²

( 斜辺（直角の向かい側）を必ず c とする)

• 斜辺を求めるときは
  2乗して足す → 最後に√
  c² で止まらず c まで出す
• 他の1辺を求めるときは
  b² = c² - a²
  可能なら
  c² - a² = (c + a)(c - a)
  の和と差の積で計算をラクにする
• 三平方の定理の逆は最大の辺を c としてa² + b² = c²が成り立つかで判定する
• 特別な直角三角形は暗記して時短する
  
• 座標の距離は「横の差・縦の差」で直角三角形を作って
  

ミスを減らす合言葉はこれ

• 「斜辺 = c」
• 「2乗で止まらない」
• 「最後に√」

三平方の計算は，短時間でも「毎日少しずつ」やる方が伸びやすい単元です。

• 今日の内容をタスク化しておく
  • 「①斜辺を求める問題を5問」
  • 「②他の1辺を求める問題を5問」
  • 「③逆の判定を3問」
• 間違えた問題はメモに残す
  • 「どの型だったか（①〜⑤）」
  • 「どのミスだったか（チェックリスト）」
    を短く残す

「解いた数」「間違えた原因」が残るとテスト前に復習するときも迷いません。三平方の定理の計算を “できる形で積み上げる” 勉強に変えていきましょう。

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