加法定理の証明がわからない！定期テストで書けるようになるコツを教えて

【質問の確認】

まずは、いただいた質問の内容を整理してみましょう。

あなたの悩みは、大きく分けて次の3つです。

• 加法定理の証明を読んでも、途中式が急に出てきて筋道が追えない
• 単位円に2点をとって距離を2通りで求めるやり方の、「なぜその発想になるのか」が見えない
• 定期テストで「証明を書きなさい」と言われたとき、最初から最後まで自分で書ける自信がない

状況をイメージしやすくするために、いまの状態を簡単に整理すると次のようになります。

つまずいている場面	具体的なモヤモヤ
教科書・先生の板書を読むとき	計算式は追えるけれど、「どうしてその式を選んだのか」が分からない
単位円・図を見たとき	距離を2通りに表す理由や、「角の差」とのつながりがピンとこない
テスト勉強のとき	どの部分を暗記して、どこから先を自分で書けばよいのか判断しづらい

このように、「計算そのもの」よりも、

• 証明のストーリー
• どの性質（公式）を使っているのか
• テストでの要求レベル

があいまいなことが、いまの不安につながっていると考えられます。

ここからの記事では、まず「加法定理がどんな公式なのか」「どんな道具を使って証明するのか」を確認し、そのうえで標準的な証明の流れを、一歩ずつたどっていきましょう。

【加法定理ってどんな公式？意味を整理しよう】

ここからは、そもそも「加法定理とは何か」をハッキリさせておきましょう。

一言で言うと、加法定理は

２つの角の「和」や「差」の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す公式

です。もう少し具体的に、よく出てくる公式を表にまとめると次のようになります。

種類	公式（代表）
sin の加法定理	sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos の加法定理	cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tan の加法定理

このように、「α + β」「α - β」という１つの角の三角関数を、「αとβ の2つの角」に分解しているのがポイントです。

加法定理が大事にされる理由は、ここからたくさんの公式や考え方が「生まれてくるから」です。たとえば、

• ２倍角の公式
• 半角の公式
• 三角関数の合成
• 和積・積和の公式

などは、どれも出発点に加法定理があると思ってかまいません。

イメージとしては、次のような「つながり図」を頭に置いておくと整理しやすくなります。

• 加法定理
  → ２倍角・半角
  → 合成・和積
  → 入試レベルの応用問題

この記事では、この中でも一番の土台になる

cos(α - β)の照明

にしぼって、流れをていねいに追っていきます。ここが分かれば、他の加法定理や２倍角の公式も、「丸暗記」ではなく「導き直せる」ようになっていきますよ。

【証明に入る前に：必要な知識を整理しよう】

いきなり証明に入る前に、「どんな道具を使うのか」をそろえておくと、流れがつかみやすくなります。ここでは、加法定理の証明でよく登場する３つのポイントを確認しておきましょう。

まずは、次の表を見てください。

道具	内容	証明のどこで使う？
単位円と三角関数の定義	半径1の円に、角度 θ の点をとると座標は (cosθ, sinθ) になる	点A、Bの座標を決めるとき
2点間の距離の公式	点 (x1,y1),(x2,y2) の距離は	A と B の距離を「座標から」求めるとき
三角関数の基本公式	cos2θ + sin2θ = 1 など	式を整理するとき

この３つは、どれもすでに数学Ⅰ・Ⅱで学んだ内容です。加法定理の証明では、これらを

• 「単位円上に点A、Bをとる」
• 「距離を公式で表す」
• 「出てきた式を整理する」

という形で組み合わせていきます。

イメージをつかむために、かんたんな確認をしてみましょう。

【ミニ例題0】単位円上の２点の距離を求めよう

単位円上に

• A(cos α, sin α)
• B(cos β, sin β)

という２点があります。A と B の距離を、2点間の距離の公式を使って表してみましょう。

距離 AB は、

となりますね。証明の中では、この AB を展開していき、もう一つの表し方（角の差 α - βを使う表し方）と結びつけていきます。

このように、「単位円の座標」と「距離の公式」が、自然につながっていることをおさえておくと、次の「cos(α - β)の証明」のストーリーがぐっと見やすくなります。続いて、いよいよ標準的な証明の流れを一歩ずつ確認していきましょう。

単位円と2点間の距離から cos(α - β) を証明しよう

流れを、表でまとめると次のようになります。

ステップ	すること	ねらい
①	単位円に A(cos α, sin α) , B(cos β, sin β)をとる	AB が α,β をつなぐ「橋」になる
②	座標から AB を求める	cos α, sin α, cos β, sin β を使った式にする
③	三角形 OAB に余弦定理を使って AB を求める	cos(α - β)を使った式にする
④	②と③を等しいとして整理する	cos(α - β)の公式を取り出す

【例題1】証明の流れを穴埋めで確認しよう

次の文の（　）にあてはまる式を考えて、証明の流れをおさらいしてみましょう。

単位円上に A(cos α, sin α) , B(cos β, sin β)をとると、

を展開して整理すると、

AB² = 2 - 2( ① )

となる。一方、三角形 OAB に余弦定理を用いると、

AB² = 2 - 2cos(α - β)

となるので、2つのAB²を比べて整理すると、

cos(α - β) = ( ② )

が成り立つ。

〈答え〉

• ①：cos α cos β + sin α sin β
• ②：cos α cos β + sin α sin β

このように、「何を2通りで表しているのか」「どこで余弦定理を使うのか」を意識して証明を眺めると、加法定理の意味が少しずつクリアになっていきます。

【標準的な証明②：ほかの加法定理を一気に導こう】

cos(α - β)の証明が分かったらほかの加法定理は「おまけ」のように一気に導くことができます。
ここでは、

• cos(α + β)
• sin(α ± β)
• tan(α + β)

の3つを、できるだけ少ない計算で手に入れていきましょう。

1．cos(α + β)は「角をひっくり返す」だけ

さきほど証明したのは

でした。ここで、β の代わりに -β を入れてみます。

左辺は cos(α + β)、右辺は「三角関数の偶奇性」を使って

• cos(-β) = cos β
• sin(-β) = - sin β

と変形できます。すると、

が得られます。
つまり、「-β を入れる」というちょっとした工夫で、cos の加法定理は2種類まとめてそろえられるわけです。

2．sin の加法定理は「cos のずらし」で作る

sin の加法定理を直接証明してもよいのですが、ここでは

という関係を使って、cos の公式から作ってみましょう。

例えば sin(α + β)について考えると、

と書けます。この右辺に、さきほどの cos の公式を使ってみましょう。

ここで

• 
• 

なので、

が得られます。同じように、β を -β に変えれば、

も導けますね。

3．tan の加法定理は「分数」を整理するだけ

最後に tan(α + β) です。tan は

なので、加法定理も

から出発します。

分子・分母に、今まで求めた sin と cos の加法定理を代入すると、

となります。ここで、分子・分母を cos α cos β で割ると、

というおなじみの形が現れます。

【例題2】sin 75° を加法定理で求めよう

75° は 75° = 45° + 30°

と分けられます。そこで、

sin 75° = sin(45° + 30°)

と考え、加法定理を使ってみましょう。

となります。

【例題3】cos 15° を加法定理で求めよう

同じように、15° は

15° = 45° - 30°

と表せます。cos の加法定理を使うと、

cos 15° = cos(45° - 30°)

ですから、

となり、sin 75° と同じ値になることが分かりますね。

【入試で差がつく発展的な見方（興味があればチャレンジ）】

ここから先は、「もう一歩先まで理解しておきたい」という人向けの内容です。定期テストには必ずしも出ないかもしれませんが、入試で加法定理を武器にしたい人は目を通しておくと力になります。

1．入試では「証明そのもの」より「使いこなし」が問われることが多い

入試問題では、加法定理の証明を書かせる問題もありますが、多くの場合は

• 三角関数の式を変形する
• 最大・最小を求める
• 特別な角度の値を求める

といった 「道具として使う」問題 が中心です。

たとえば、次のような場面で加法定理が活躍します。

• cos 3θ を cosθ だけで表す（3倍角の公式）
• a sin θ + b cos θ の最大値・最小値を求める（合成）
• sin A + sin B, cos A + cos B を別の形にする（和から積への変形）

どれも最初の一歩は、「角の和・差をどう分解するか」「どの形に直してから考えるか」という発想がカギになります。

2．「別の視点からの証明」がヒントになることも

また、難関大の問題集などでは、

• ベクトルの内積
• 複素数平面

を使って加法定理を説明する流れが登場することもあります。

たとえば、

• 単位円上の点を複素数 で表し、積 を考える
• ベクトルの内積の公式 を利用する

などの方法でも、加法定理にたどり着くことができます。

高校Ⅱの範囲では「ふーん、そんな見方もあるんだ」くらいで十分ですが、
「いろいろな分野から同じ公式にたどり着く」 というのは、数学の面白さの１つですよ。

【例題4】応用：a sin θ + b cos θ の最大値を求めよう

最後に、加法定理を使った代表的な応用問題を１つやってみましょう。

実数 a , b に対し、関数 y = a sin θ + b cos θ

を考える。y の最大値をa , b を用いて表しなさい。

これは、三角関数の 「合成」 と呼ばれるタイプの問題です。
加法定理を使って、１つの三角関数にまとめてしまいましょう。

（方針）
a sin θ + b cos θを、ある定数 R , α (R > 0) を使って

R sin(θ + α)

の形に書き換えてみます。

sin の加法定理より、

R sin(θ + α) = R(sin θ cos α + cos θ sin α)

なので、

R sin(θ + α) = R cos α・sin θ + R sin α・cos θ

となります。ここで、

a = R cos α, b = R sin α

とおけば、

a sin θ + b cos θ = R sin(θ + α)

と表せますね。

R を求めるために、両辺を2乗して足してみると、

a² + b² = R²(cos² α + sin² α) = R²

となるので、

が分かります。

したがって、

という形にまとめられます。

sin の値は -1 から 1 の範囲を動くので、

となり最大値は だと分かります。

このように、加法定理は

• 公式そのものの証明
• 2倍角・半角・合成・和積などの発展公式
• 最大・最小や入試レベルのトリッキーな問題

まで、広い場面でつながっています。

すべてを一気に完璧にしようとする必要はありませんが、「こういうところまで発展するんだ」と知っておくと、三角関数の学習がぐっと立体的に見えてきますよ。

【勉強の仕方のアドバイス：証明を「意味ごと」覚えよう】

加法定理の証明は式を丸暗記するよりも、「どんな話だったか」をセットで覚えた方がラクです。ここでは、最低限おさえたいポイントだけにしぼって整理します。

1．まずは「3行ストーリー」を言えるようにしよう

cos(α - β)の証明を、日本語だけでまとめると次の3行になります。

• 単位円上に A(cos α, sin α) , B(cos β, sin β)をとる
• AB² を「座標から」と「余弦定理から」の2通りで求める
• 2つの AB² を等しいとして整理し、cos(α - β)の式を取り出す

この3行を、自分の言葉でスラスラ言えるかどうかが最初の目標です。
細かい計算は一度忘れていてもかまわないので、「何を2通りで表して比べているか」だけははっきりさせておきましょう。

2．ノートは「意味」と「式」をセットにしよう

ノートづくりは、次のようにシンプルでOKです。

左側	右側
証明のストーリー（上の3行）	cos(α - β)の証明テンプレ全文

慣れてきたら、左側のストーリーだけを見て、右側の式を自分で再現してみてください。
うまく書けなかったところが、今の自分の「弱点」です。

3．短時間の復習を何回かに分けよう

証明は、一度で覚えきろうとせず、短めの復習をくり返した方が定着しやすくなります。

• 今日：テンプレを見ながら、証明をノートに1回書く
• 1〜2日後：空欄補充問題で流れを確認する
• 1週間後：白紙から証明を書いてみる

このくらいのペースを目安にしておくと、「テスト直前に全部忘れていた…」という事態を防ぎやすくなります。

この記事のまとめと次の一歩

1．大事なポイントをまとめて確認しよう

まずは、加法定理とその証明について、「ここだけはおさえておきたい」というポイントです。

• 加法定理は、「2つの角の和・差の三角関数」を、それぞれの角の三角関数で表す公式。
• cos(α - β)の証明は、単位円上の2点 A、B の距離 AB を2通りで表して比べるストーリー。
• 1つめの AB²：座標A(cos α, sin α) , B(cos β, sin β)から、距離の公式と sin²θ + cos²θ = 1 を使って求める。
• 2つめの AB²：三角形 OAB に余弦定理を使って、cos(α - β)を含む形で求める。
• 2つの AB² を等しいとして整理することで、
  cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  が導かれる。
• cos(α - β)が分かればほかの加法定理は、角の置き換えや分数の整理でまとめて導ける。
• 証明は「式の丸暗記」ではなく、
  • 単位円
  • 距離の公式
  • 余弦定理をどうつないでいるか、ストーリーごと覚えるのがコツ。

2．今日からできる“具体的な一歩”を決めよう

ここからは、「じゃあ、実際に何をすればいいの？」という部分です。
次のような小さな目標からでよいので、どれか1つは今日のうちにやってみましょう。

• cos(α - β)の証明テンプレを、ノートに1回ていねいに写してみる。
• sin 75°,cos15° を加法定理だけを使って計算し直してみる。
• 「3行ストーリー」（A、B をとる→AB²を2通りで表す→等しいとして整理）を、自分の言葉で説明してみる。
• 1週間後に「白紙から証明を書けるか」をもう一度チェックする予定を決めておく。

「1回で完璧」ではなく、「短時間 × 何回か」の復習をくり返すことで、加法定理の証明は少しずつ定着していきます。

3．復習タイミングを「見える化」しよう

せっかく理解した内容も、「気がついたら復習しないままテスト前……」となってしまうともったいないですよね。

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