対数微分法ってどんなときに使えばいいの？

対数微分法ってどんな方法？（ざっくりイメージをつかもう）

まずは、「対数微分法って何をしているのか」をざっくりイメージしておきましょう。

対数微分法の一言まとめ

対数微分法は、次のように言いかえられます。

「式の両辺に対数 log を取ってから微分し、最後に元の式に戻す方法」

ふつうの微分ではそのまま計算しにくい式でも、対数を取ることで扱いやすい形に変えてから微分できるのがポイントです。

何をしているのか、流れで見てみよう

関数を

とおくと、対数微分法では、だいたい次のような流れになります。

1. 1. 両辺に対数を取る
   log y = log f(x)
2. 2. 両辺を x で微分する
   左辺は
   
   右辺は、合成関数・積・商の微分を使って計算します。
3. 3. y' について解き、最後に y を元の関数に戻す
   
   ここでの y を「もとの f(x)」に戻せば、微分が完了です。

このように、いったん log の世界に連れていってから微分し、最後に元の世界へ戻すのが対数微分法のイメージです。

どうして「対数」を取ると楽になるの？

対数には、次のような性質があります。

元の形	対数を取ったあとの形	見やすくなるポイント
AB	log A + log B	積が「たし算」に変わる
	log A - log B	商が「ひき算」に変わる
An	n log A	べき乗が「かけ算」に変わる

たとえば、

のように、積や商、べき乗が何個も重なった式をそのまま微分しようとすると、

• 積の微分公式
• 商の微分公式
• 合成関数の微分

を何度も使うことになり、計算が長くなりがちです。

そこで、両辺に log を取って

log y = 3 log(x + 1) - 2 log(x - 2) - 4 log(x + 3)
のように書きかえると、

• 「積・商・べきの情報」が
• 「足し算・引き算・定数倍」に整理される

というメリットがあります。

ごちゃごちゃした積や商 → “足し算・引き算” にしてから微分する

この発想が、対数微分法の一番のねらいです。

次のブロックでは、対数微分法の基本の3ステップを、もう少しくわしく整理していきましょう。

対数微分法の基本の手順（3ステップで整理しよう）

ここからは、対数微分法の手順を「いつも同じ型で解けるように」整理していきます。毎回この3ステップを意識しておくと、計算で迷いにくくなります。

3ステップの全体像をつかもう

対数微分法の流れは、つぎの3つです。

1. 1. STEP1：両辺に対数を取る（必要なら絶対値を付ける）
2. 2. STEP2：両辺を x で微分して、 の形をつくる
3. 3. STEP3：y' について解いて、最後に y を元の関数に戻す

それぞれ、もう少し具体的に見ていきましょう。

STEP1：両辺に対数を取る（必要なら絶対値）

まず、微分したい関数を

y = f(x)

とおきます。

ここで、

• y が常に正のとき： log y = log f(x)
• y が負になる可能性もあるとき： log |y| = log |f(x)|

のように、「両辺に対数を付ける」と考えます。

ポイント

STEP2：両辺を x で微分して、 の形をつくる。

次に、両辺を x で微分します。

左辺は、合成関数の微分を使って

という形になります。

右辺は、

• log(x + 1)なら「合成関数の微分」
• log A + log B なら「1つずつ微分して足し算」
• 3 log(x + 1)なら「3を前に出したまま微分」

といったように、これまで習った

• 合成関数の微分
• 積・商の微分
• 指数・対数の微分

を組み合わせて計算していきます。

STEP3：y' を取り出して、元の y に戻す

最後に、両辺に y をかけて y' について解きます。

ここでの y は、最初に置いた y = f(x) のことなので、

y' = f(x) × F(x)

のように、「元の関数」をそのまま掛け戻してあげれば、微分の答えが完成します。

整理すると、対数微分法は次のように考えられます。

1. 1. 対数を取って式の形をスッキリさせる
2. 2. log の微分で をつくる
3. 3. y = f(x) に戻して y' を求める

この「型」が頭に入っていると、少し複雑な問題でも落ち着いて取り組めるようになります。

どんなときに対数微分法を使う？（判断のしかたをおさえよう）

ここまでで、対数微分法の「中身」と「手順」はイメージできてきたと思います。
次のステップは、「この問題で本当に対数微分法を使うべきか」を自分で判断できることです。

まずはチェック！ 対数微分法が出番になる3つの場面

微分したい関数を見たときに、つぎの3つのポイントをチェックしてみましょう。

1. 1. 底と指数の両方に x が入っているか？
2. 2. 積や商、べき乗がたくさん重なっていないか？
3. 3. 根号や分数指数がいくつも出てきていないか？

逆に、

• 2つ程度の単純な積
• ふつうの合成関数 1つのようなときは、わざわざ対数微分法を使わなくても、これまでの公式だけで十分なことが多いです。

簡単な「判断フロー」を頭に入れておこう

問題を見たときの思考の流れを、フローチャート風にイメージしてみましょう。

1. 1. 底と指数の両方に x が入っている？
   • YES → 対数微分法を第1候補にする
   • NO → 2 に進む
2. 2. 積・商・べきが3つ以上からみ合っている？
   • YES → 対数微分法を使うと計算が短くなる可能性が高い
   • NO → 3 に進む
3. 3. 根号や分数指数がいくつも出てくる？
   • YES → 対数微分法を試してみる価値あり
   • NO → ふつうの積・商・合成の微分で解けないかをまず考える

このように、「形」を見てざっくり判断できるようになると、

• 「とりあえず全部対数微分法で…」
• 「どの問題で使えばいいかわからない…」

というモヤモヤから抜け出しやすくなります。

小さな例で判断のイメージをつかもう

次の式を見たとき、あなたならどう考えるでしょうか。

1. 1. y = x^x
2. 2. y = (x + 1)(x² + 2)
3. 3.

チェックフローに当てはめると、

式	主な特徴	判断の目安
① xx	底と指数どちらにも x	対数微分法ほぼ一択
② (x + 1)(x2 + 2)	積は2つだけ	ふつうの積の微分で十分
③	積・商・べきが多い	対数微分法を使うと楽

このように、「形で判断するクセ」をつけておくと、テスト本番での迷いがぐっと減ります。

【例題で理解】対数微分法の基本パターンをおさえよう

ここからは、実際の問題を通して対数微分法の使い方を確認していきます。
代表的な5つのパターンを押さえておくと、テストや入試で見たときに「これはあの型だ」と気づきやすくなります。

例題1　いちばん有名なパターン：y = x^x

【問題】

y = x^x(x > 0) の微分を求めよ。

【解き方】

1. STEP1：両辺に対数を取る

両辺に log を取ると、

となります。

2. STEP2：両辺を x で微分する

左辺は

右辺は積の微分で

したがって、

3. STEP3：y' を取り出して、y を元に戻す

両辺に y をかけて、

もとの y = x^x を戻すと、

となります。

【ポイント】

例題2　底も指数も x を含む型：

【問題】

の微分を求めよ。

【解き方】

1. STEP1：両辺に対数を取る

2. STEP2：両辺を x で微分する

左辺：

右辺は積の微分です。

と見て微分すると、

したがって、

3. STEP3：y' を取り出し、y を戻す

もとの を代入して、

【ポイント】

例題3　積・商・べきが多い式：

【問題】

を微分せよ。

【解き方】

1. STEP1：両辺に対数を取る

2. STEP2：両辺を x で微分する

左辺：

右辺はそれぞれ合成関数の微分で、

だから、

3. STEP3：y' を取り出し、y を戻す

もとの y を代入して、

【ポイント】

例題4　定義域と真数条件も意識：y = (x² - 1)^x

【問題】

y = (x² - 1)^xの微分を、定義域に注意しながら求めよ。

【解説の流れ】

1. 定義域と真数条件を確認

べき乗 a^b を実数として扱うには、基本的に a > 0 を仮定することが多いです。
ここでは、簡単のため

x² - 1 > 0 ⇒ x > 1 または x < - 1

のうち、例えば x > 1 の範囲で考えることにします。
この範囲では x² - 1 > 0 なので、log(x² - 1) と書いて問題ありません。

2. STEP1：両辺に対数を取る（x > 1 とする）

3. STEP2：両辺を x で微分する

左辺：

右辺は積の微分で、

したがって、

4. STEP3：y' を取り出し、y を戻す

もとの y = (x² - 1)^x を戻すと、

【ポイント】

例題5　入試レベルの複合例：

【問題】

(x > 0)の微分を求めよ。

【解き方】

1. STEP1：両辺に対数を取る

2. STEP2：両辺を x で微分する

左辺：

右辺：

• x log x の微分：log x + 1
• は積の微分で、

したがって、

STEP3：y を取り出し、y を戻す

もとの を戻して、

【ポイント】

「対数を取らない」裏技との関係もおさえよう

対数微分法といっしょに、「 に書きかえる裏技」を見たことがある人も多いと思います。この2つは、発想としては同じ仲間だと考えてOKです。

① 裏技の代表例：y = x^x

と書き換えれば、

とおいて合成関数として微分できます。

結果は、対数微分法で求めた答えと同じになります。

② 実は「中身」は対数微分法と同じ

• 対数微分法：両辺に log を取ってから微分する
• 裏技：先に と書きかえ、log を使った形にしてから微分する

どちらも

「log の性質を使って式をほぐしてから微分する」
という点では同じ考え方です。

③ どっちを使えばいい？

ざっくりした目安は次の通りです。

状況	おすすめ
xx だけのような単純な式	裏技でも対数微分法でもOK
積・商・べきがたくさんある式	対数微分法の方が整理しやすい

単純なときは好きな方、複雑なときは対数微分法、とイメージしておくと選びやすいです。

よくあるまちがい＆ミス防止チェックリスト（コンパクト版）

対数微分法は便利な分、同じところでのうっかりミスが目立つ分野です。
代表的なミスだけ、サッと押さえておきましょう。

よくあるまちがいベスト3

まちがい	正しくは…
としてしまう
と書いてしまう
計算の最後で y を元の式に戻し忘れる	「」の y を、必ず元の関数に戻す

とくに、「log y の微分」と「log f(x) の微分」を区別できているかを意識しておくと安心です。

テスト前のミニチェックリスト

問題を解き終わったら、次の4つだけ確認してみましょう。

• 対数を取る前に、真数条件を確認したか
• を正しく使ったか
• 対数の性質（積→和、商→差、べき→定数倍）を間違えていないか
• 最後に y を元の関数の式に戻してから 答えを書いたか

この4点をサッと見直すだけでも、ケアレスミスをグッと減らせます。

入試・定期テストではここが狙われる（コンパクト版）

対数微分法は、「どんな形で出るか」をつかんでおくと対策しやすくなります。

定期テストで出やすい形

よくあるのは、このあたりです。

レベル	典型的な形	ねらい
基本	y = xx, y = (sin x)x	底・指数どちらにも x がある型の確認
標準		積・商・べきが多い式で計算力を見る
発展	y = (x2 - 1)xなど	真数条件・範囲の扱いまで書けるかをチェック

「基本＋標準」を確実に取り切り、余力があれば「発展」で差をつけるイメージです。

入試でよくある使われ方

• など、複雑な関数の導関数
• そこから増減・最大最小を求めさせる問題
• 場合によっては「対数を取って計算しなさい」と誘導が付くこともあります。

ポイントは、
「この形なら対数微分法だ」と自分で気づけるかどうか です。

ここまでできれば OK の目安

• x^xや積・商が多い式を見て、迷わず対数微分法を選べる
• 導関数を使って、増減・最大最小まで一気に解ける
• 真数条件・範囲の確認を、自然にセットで行えている

この状態なら、対数微分法が絡む問題で大きく失点することはほとんどなくなります。

まとめ

対数微分法のキホン整理

• 対数微分法は、「両辺に log を取ってから微分し、最後に元の式に戻す」テクニック。
• 使いどころは、次のような「形」に注目するのがコツです。
  • 底と指数の両方に x がある： など
  • 積・商・べきがたくさんある など
  • 根号・分数指数が多い： など
• 手順はつねに「log を取る → 微分して に直して元の式に戻す」の3ステップ。
• log を使うときは、真数条件（中身 > 0）や絶対値の扱いもいっしょに確認する。
• log y の微分は 、log f(x)の微分は を忘れない。

対数微分法は、1回わかったつもりでも、しばらくすると手順を忘れやすい単元です。
そこで、

• 今日解いた例題（x^x、積・商が多い式、真数条件を意識する式 など）
• 自分がミスしやすかったポイント（log y の微分、真数条件の見落とし など）

そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

AI質問の特徴

問題を撮影するだけ！
勉強中にわからない数学の問題を撮影すると、すぐにヒントや解き方を丁寧に解説してくれます。

考え方や途中過程まで、ステップごとに解説
答えだけでなく、解答に至るまでのステップをわかりやすく提示。追加解説まで丁寧に説明してくれます。

AI質問機能を活用することで、定期テストや入試の対策に向けて、理解の“穴”をすぐに埋めることに役立ちます。「進研ゼミ」は以下より無料で体験いただけます（スマートフォン／タブレットからアプリをダウンロード）。