3倍角の公式って何？

3 倍角の公式とは？まず「何をしている公式か」を理解しよう

3 倍角の公式は、「 3θ を θ だけを使って表すための公式」 と意識すると少し見え方が変わってきます。まずは、あなたがつまずいているポイントを整理してみましょう。

• 公式そのもの
  sin 3θ や cos 3θ の係数（3 と 4）や符号があいまいになってしまう
• 導き方の流れ
  sin 3θ = sin(2θ + θ) としても途中計算がわからない
• 使う場面のイメージ
  3倍角の公式の使い道が分からず、「なんとなく難しそう」と感じてしまう

この記事では、次の 3 つをゴールにして解説していきます。

• sin 3θ や cos 3θ の公式の意味と形を整理する
• 加法定理・ 2 倍角の公式から、自分の手で3倍角の公式を導けるようになる
• 三角方程式・積分など代表的な「使いどころ」を例題で確認する

ノートに手を動かしながら読み進めれば、
「3倍角はよく分からないマイナー公式」から「入試でも使える頼りになる道具」に変わっていきます。いっしょに整理していきましょう。

3 倍角の公式を表にまとめたものです。

sin 3θ = 3 sin θ - 4sin3θ

cos 3θ = 4cos3θ - 3 cos θ

まず「 3 倍角ってそもそも何？」というところから整理してみましょう。

• 角度 θ を 3 倍したものが 3θ（ 3 倍角）
• そのときの sin や cos の値を「元の角度 θ の sin 、cos だけ」で表したものが 3 倍角の公式

というイメージを持つと全体像がつかみやすくなります。三角関数の公式の流れをざっくり並べてみると、次のようになります。

• 加法定理：
  
  • sin(α ± β)、cos(α ± β)を計算する公式
• 2 倍角の公式：
  sin 2θ、cos 2θを θ の三角比だけで表す公式
• 3倍角の公式：
  sin 3θ、cos 3θ を θ の三角比だけで表す公式

この「加法定理 → 2 倍角 → 3 倍角」というつながりの中に、3 倍角の公式が入っていると考えてください。

あとで詳しく導き方を説明しますが、今の段階では次のポイントをおさえておくと整理しやすくなります。

• sin 3θ や cos 3θ には、どちらも「 3 」と「 4 」という係数が出てくる
• 1 乗と3 乗（奇数乗）だけが出てくる
• どちらも「3 倍角を、 θ だけで表している」という役割を持つ

「式を丸暗記しよう」とするよりも

3 倍角 = 3θ を θ の世界に戻す公式というイメージを先に持つことで、このあと学ぶ導き方や使い方が理解しやすくなります。

3倍角の公式の導き方 – 加法定理と2倍角から自力で作ってみよう

ここからは、3 倍角の公式がどのようにして作られているのかをたどっていきます。
ポイントはつぎの 3 つです。

• 「3θ」を「2θ + θ」に分けて加法定理を使う
• 2 倍角の公式で、sin 2θ、cos 2θを θ の式に直す
• sin²θ + cos²θ = 1 を使って、最後まで θ だけの式に整理する

1 つずつ順番に確認していきましょう。

sin 3θ の導き方

まずは sin 3θ からスタートします。

1. 角を「2θ + θ」に分ける

• sin 3θ を sin 3θ = sin(2θ + θ)と書き換えます。
• ここで「3θ = 2θ + θ」に分けていることがポイントです。

2. 加法定理を使って展開する

• 加法定理
  sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  を使うと
  sin(2θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sinθ
  となります。

3. 2 倍角の公式を利用する

• 2 倍角の公式
  sin 2θ = 2 sin θ cos θ
  cos 2θ = cos²θ - sin²θ
  これを代入すると
  sin 3θ
  = (2 sin θ cos θ)cos θ + (cos²θ - sin²θ)sin θ
  = 2 sin θcos²θ + sin θcos²θ - sin³θ

4. sin θでくくって整理する

3 つの項にはすべて sin θ がふくまれているので、

sin 3θ
= sin θ(2cos²θ + cos²θ - sin²θ)
= sin θ(3cos²θ - sin²θ)

さらに cos²θ = 1 - sin²θ を使うと

3cos²θ - sin²θ
= 3(1 - sin²θ) - sin²θ
= 3 - 3sin²θ - sin²θ
= 3 - 4sin²θ

したがって

sin 3θ = sin θ(3 - 4sin²θ) = 3 sin θ - 4sin³θ

このようにして、

sin 3θ = 3 sin θ - 4sin³θ

が導き出せます。

途中で計算が混乱するときは、

• 「加法定理を使う場所」
• 「2倍角の公式を入れる場所」
• 「最後に cos²θ を 1 - sin²θ に置き換える場所」

の3ステップに分けてノートに書いてみてください。

cos 3θ の導き方

つぎに cos 3θ を同じ流れで導いてみましょう。

1. 角を「2θ + θ」に分ける

cos 3θ を cos 3θ = cos(2θ + θ)と書き換えます。

2. 加法定理で展開する

加法定理

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

これを使うと

cos(2θ + θ) = cos 2θ cos θ - sin 2θ sin θ

3. 2倍角の公式を利用する

2倍角の公式

cos 2θ = cos²θ - sin²θ

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

を代入すると

cos 3θ
= (cos²θ - sin²θ)cosθ - (2 sin θ cos θ)sin θ
= cos³θ - cos θsin²θ - 2sin²θ cos θ

4. cos θ でくくって整理する

3つの項にはすべて cos θ がふくまれているので

cos 3θ
= cos θ(cos²θ - sin²θ - 2sin²θ)
= cos θ(cos²θ - 3sin²θ)

5. sin²θ を 1 - cos²θに置きかえる

sin²θ = 1 - cos²θを使うと

cos²θ - 3sin²θ = cos²θ - 3(1 - cos²θ) = cos²θ - 3 + 3cos²θ = 4cos²θ - 3

したがって

cos 3θ = cosθ(4cos²θ - 3) = 4cos³θ - 3 cos θ

このようにして、

cos 3θ = 4cos³θ - 3 cos θ

が得られます。

sin 3θ も cos 3θ も、「加法定理 → 2倍角の公式 → sin²θ + cos²θ = 1」
という同じ流れで導けることをおさえておくと、テスト中に公式を忘れてしまったときでも
自分の手で導けるようになります。

3倍角の公式の覚え方 - 語呂合わせ＋「構造」で暗記しよう

ここからは、導き方ではなく「どう覚えるか」にしぼって整理していきます。

3 倍角の公式は、語呂合わせだけに頼るより「形のパターン」をつかむほうが忘れにくくなります。

1. まずは「どこが共通しているか」を見る

sin 3θ や cos 3θ の公式を並べてみると、次のような共通点があります。

• どちらにも「3」と「4」という数字が出てくる
• θ の1乗と3乗（奇数乗）だけが登場する
• 「1乗の項」と「3乗の項」がセットになっている

この「共通パーツ」を先に頭に入れておくと、丸暗記ではなくパターンで覚えることができます。

2. sin 3θ の形の覚え方

sin 3θ の公式は

sin 3θ = 3 sin θ - 4sin³θ

という形でした。ここでは、次の順番を意識してみてください。

• 1 乗の係数は「3」
• 3 乗の係数は「4」
• 並びは「3,-4」の順
• 最後が「-4sin³θ」で終わる

頭の中で「3から始まって、-4 で終わる」とリズムで覚えておくと符号を間違えにくくなります。

3. cos 3θ の形の覚え方

cos 3θ の公式は

cos 3θ = 4cos³θ - 3 cos θ

でした。sin 3θ と見比べるときは、次のポイントを意識しましょう。

• 3 乗の係数は「4」
• 1 乗の係数は「3」
• 並びは「4,-3」の順
• 最初が「4cos³θ」で始まる

つまり、

sin 3θ = 3 sin θ - 4sin³θ

cos 3θ = 4cos³θ - 3 cos θ

と3 と 4 の位置がひっくり返っていると見ることができます。

4. 語呂合わせは「思い出すきっかけ」として使う

3倍角の公式には、いくつか有名な語呂合わせがあります。ただし、語呂だけに頼ると、テストであいまいになってしまうことも多いので、
ここでは「思い出すきっかけ」としてシンプルな使い方をイメージしてみましょう。

• 「sin は 3 から、cos は 4 から」
  • sin 3θ：3 sin θ からスタート
  • cos 3θ：4cos³θ からスタート
• 「3と4でペア、あとで符号をチェック」
  • 3と4がセットで出てくることだけ先に思い出す

実際にノートに書くときは、

1. 1. まず「sin は 3 から」「cos は 4 から」と1行目を書いてみる
2. 2. そのあとで、「反対側に -4sin³θ」「-3 cos θ」と補う

という手順にすると、ミスが減っていきます。

5. 導き方とセットで覚えると忘れにくい

最後に、覚え方のコツとして、

• 「公式だけ」を暗記しようとしない
• 時々「加法定理 → 2 倍角」から導き直してみる

ことを意識してみてください。

• 公式の形は「パターン＋軽い語呂」で思い出す
• 本当に不安なときは、自分で導き方をたどる

この2本立てで練習しておくと、テスト本番で公式があいまいになっても、自分の手で立て直せるようになります。

3倍角の公式はどこまで覚えるべき？レベル別の目安

「そもそも、3倍角って自分の勉強でどこまで必要なの？」
という不安もありますよね。ここでは、志望校や目標レベルごとに「覚えるライン」 を整理してみます。

まず、大まかに次の4つのタイプに分けて考えましょう。

① 共通テスト中心（国公立・私立問わず、標準レベル）
② 中堅私大文系レベル
③ 難関私大・国公立文系レベル
④ 国公立理系・難関大理系レベル

それぞれについて、3倍角の公式をどこまで押さえておくと安心かを見ていきます。

① 共通テスト中心の人

• sin 3θ , cos 3 θ の公式の形を思い出せるようにしておく
• 加法定理からの導き方は、「授業で一度追っておけばOK」くらいの意識でも大丈夫
• 三角方程式などで 3 倍角が出てきたときに、「公式を使えば θ に直せる」と気づければ十分

⇒ 「公式の意味とざっくりした形」をおさえ、
　必要になったら教科書やノートを見返して確認する、というイメージです。

② 中堅私大文系レベル

• sin 3θ , cos 3 θ を自分の力で書けるようにしておきたいレベルです。
• 導き方は「加法定理 → 2倍角の公式 → sin²θ + cos²θ = 1」の流れを1人でもたどれると安心です。
• 典型的な三角方程式（sin 3θ = sin θ, cos 3θ = cos θ など）で使う練習をしておきましょう。

⇒ 「公式を書ける＋基本的な方程式で使える」が目標になります。

③ 難関私大・国公立文系レベル

• sin 3θ , cos 3θ を暗記＋導出の両方できる状態を目指します。
• 特殊角の値を求める問題で、3 倍角の公式を使うこともあるので、
  「どのタイミングで3倍角を使うのか」という発想も身につけておきたいところです。

⇒ 「公式を使うだけでなく、問題の中で“出番”を自分で判断できる」ことがポイントです。

④ 国公立理系・難関大理系レベル

• sin 3θ , cos 3θ に加え、tan 3θ の公式も導出・利用できるようにしておきたいレベルです。
• 三角方程式・不等式・積分などで、3 倍角を使った変形が頻繁に登場します。
• 発展的な話題（sin 3θ の因数分解形など）にも触れておくと、入試本番での対応力が上がります。

⇒ 「3 倍角＝入試で普通に使う道具」として、
　公式の暗記・導出・使いどころをまとめて身につけておくことが大切です。

このように、自分の目標によって「どこまで覚えるべきか」は変わってきます。

• 「今は共通テスト中心だから、まずは sin 3θ , cos 3θ の形を押さえよう」
• 「理系志望だから、tan 3θ もふくめて導出までできるようにしておきたい」

といったように、自分の立ち位置を決めてから、3倍角の勉強のゴールをはっきりさせると勉強の優先順位もつけやすくなります。

3倍角の公式の使いどころ – 例題でパターンをつかもう

例題1　方程式 sin 3θ = sin θ を解こう（基本）

【問題】

方程式 sin 3θ = sin θ を、 の範囲で解きなさい。

【考え方】

3 倍角の公式を使うと、左辺を「sin θ だけの式」に変形できます。

1. 左辺を3倍角の公式 sin 3θ = 3 sin θ - 4sin³θ で展開する
2. 方程式に代入して整理する

3 sin θ - 4sin³θ sin θ

両辺を左辺に集めると

3 sin θ - 4sin³θ - sin θ = 0

2 sin θ - 4sin³θ = 0

3. 因数分解する

2 sin θ(1 - 2sin²θ) = 0

4. それぞれの因数から解を求める

sin θ = 0

1 - 2sin²θ = 0 →

【解答のイメージ】

sin θ = 0, より θ = 0, π

, より

したがって、解は

となります。

この問題のポイントは、

• 「sin 3θ をそのまま扱わず、3 倍角の公式で θ の式に落とす」
• そのあとで、いつも通り「因数分解 → 解を求める」流れにもっていく

ことです。

例題2　三角方程式 cos 3θ = cos θ のパターン

【問題】

方程式 cos 3θ = cos θ を、 の範囲で解きなさい。

【考え方】

こちらも同じように、cos 3θ を 3 倍角の公式で展開していきます。

1. cos 3θ の公式を使う

cos 3θ = 4cos³θ - 3 cos θ

2. 方程式に代入して整理する

4cos³θ - 3 cos θ = cos θ

4cos³θ - 4 cos θ = 0

4 cos θ(cos²θ - 1) = 0

3. 因数ごとに考える

cos θ = 0

cos²θ - 1 = 0 (→ cos θ = ± 1)

【解答のイメージ】

cos θ = 0, より

cos θ = ± 1, より θ = 0, π

したがって、解は

となります。

sin のときと同じように、

• 「3倍角の公式 → 因数分解」という流れで解けること
• cos の場合は cos²θ - 1 = 0 が出てきやすいことも意識しておくと似た問題にも対応しやすくなります。

例題3　積分で3倍角を一次式に変える（理系向け）

【問題】

次の不定積分を求めなさい。

【考え方】

高校の積分では、「中の角度が3倍になっている」場合も基本は同じ発想で処理できます。

3x を1つの文字 t とみなす

• t = 3x とおくと、

積分は

この問題では 3倍角の「公式」は直接使っていませんが、

• 「3x のような形が出てきたときの考え方」
• 「角度の中身が変わるときの処理」

という意味で3倍角の公式と関連が深い例題です。

よくあるつまずきとチェックポイント

3倍角は「公式を覚える」よりも、ミスしやすい所を先につぶすほうが点につながります。

よくあるつまずきを簡単にまとめます。

1）公式の書き間違い

• sin：最初が「3 sin θ」、最後が「-4sin³θ」
• cos：最初が「4cos³θ」、最後が「- 3 cos θ」

チェック

• 「sinは3から、cosは4から」で書き始めたか
• 3乗の項の係数4と符号-は合っているか

2）導き方・式変形の途中で止まる

よくある失敗

• cos²θと sin²θが混ざったまま終わる
• sin²θ + cos²θ = 1 の置き換えを忘れる

チェック

• 最後は sin θ だけ（または cos θ だけ）の式にできたか

3）方程式の解で落とす

よくある失敗

• 因数分解したのに「それぞれ = 0」を書かない
• 範囲（など）を見落とす

チェック

• まず範囲をメモしたか
• 因数ごとに解を出しているか

4）使いどころが見えない

チェック

• 「sin 3θ = …」「cos 3θ = …」が見えたら、まず 3倍角の公式でθの式に落とす
• 「sin 3θ = a」みたいな形なら、まず3θを1つの角として解く手もある

3倍角の公式を身につける勉強法

1）まず今日やること（10〜15分）

• ノートの端に、3倍角の公式を 1回だけ書く
  • sin 3θ = 3 sin θ - 4sin³θ
  • cos 3θ = 4cos³θ - 3 cos θ
• その下に、導き方の出発点だけメモする
  • sin 3θ = sin(2θ + θ)
  • cos 3θ = cos(2θ + θ)

「公式＋出発点」をセットにすると思い出しやすくなります。

2）翌日にやること（5分）

• 公式を見ずに、もう一度書いてみる
• 不安なら、加法定理から 途中式を2行だけ 書いて確認する
  • 「展開できる」感覚が残ればOKです。

3）3日後にやること（10分）

• 例題を1問だけ解き直す（おすすめはこれ）
  
  • sin 3θ = sin θ のような三角方程式
• 解き終わったら、最後にチェック
  • 因数分解できたか
  • 範囲を落としていないか

4）「本番で思い出す」ためのコツ

3 倍角は問題を見た瞬間にこの2つを思い出せれば勝ちです。

• sin は 3 から、cos は 4 から
• 迷ったら 3θ = 2θ + θ に分けて、加法定理から立て直す

まとめ

この記事でおさえておきたいポイント

• 3倍角の公式は「3θをθだけで表す」公式
• sin 3θ , cos 3θ は加法定理と2倍角の公式から導ける
• 覚え方は「語呂＋係数・次数のパターン」でセットにする
• 三角方程式・積分・特殊角の問題でよく登場する
• 自分の志望校レベルに合わせて「どこまで覚えるか」を決める

忘れやすい公式ほど「復習する日」を先に決めるのが一番ラクです。

• 今日：3 倍角の公式を書き出す（3分）
• 明日：見ずにもう一度書く（3分）
• 3 日後：例題を1問解き直す（10分）

やることが「見える化」されると3倍角は自然に定着していきます。

そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

AI質問の特徴

問題を撮影するだけ！
勉強中にわからない数学の問題を撮影すると、すぐにヒントや解き方を丁寧に解説してくれます。

考え方や途中過程まで、ステップごとに解説
答えだけでなく、解答に至るまでのステップをわかりやすく提示。追加解説まで丁寧に説明してくれます。

AI質問機能を活用することで、定期テストや入試の対策に向けて、理解の“穴”をすぐに埋めることに役立ちます。「進研ゼミ」は以下より無料で体験いただけます（スマートフォン／タブレットからアプリをダウンロード）。