6分の1公式って何？

6分の1公式ってどんな公式？まずは「正体」をつかもう

まずは、細かい式の形よりも、「6分の1公式がしてくれること」のイメージをつかんでおきましょう。

二次関数と直線で囲まれた面積を求めるとき、普通は次のような流れになります。

1. 1. 2つのグラフの交点を求める
2. 2. 上のグラフ − 下のグラフ をつくる
3. 3. その式を積分する
4. 4. 積分結果に、交点のx座標を代入して面積を出す

これを毎回ていねいにやると、計算の量が多くなりがちです。

そこで登場するのが「6分の1公式」です。ざっくり言うと、

「交点のx座標」と「二次関数の形」だけから、面積を一気に出してしまう公式

と考えておくとイメージしやすくなります。次のような形です。

どんなグラフで使えるの？

6分の1公式が活躍するのは、次のような「放物線のアーチ」のような図形です。

• 二次関数と直線で囲まれた図形
• 二次関数どうしで囲まれた図形

ざっくり整理すると、こういうイメージです。

囲まれている図形のタイプ	6分の1公式の出番
二次関数とx軸で囲まれた面積	〇：基本パターン
二次関数と直線で囲まれた面積	〇：よく出る典型問題
二次関数どうしで囲まれた面積	〇：少しレベルアップした問題
三次関数がまざる／交点がたくさんある	△〜✕：そのまま使うのは注意

「二次関数が作るアーチと、もう1本のグラフでできた“ふくらんだ部分”の面積を、まとめて計算してくれる」
というイメージを持っておくとよいでしょう。

ごく簡単なイメージ例

たとえば、次のような状況を考えます。

• 二次関数のグラフとx軸が、x = 1 と x = 3 で交わっている
• その間が、山なりのアーチのような形になっている

普通なら、式を展開して積分して…と計算を進めていきますが、
6分の1公式を使える形にしておけば、

• 「左の交点：1」
• 「右の交点：3」

この2つの情報から、まとめて面積を出せるようになります。

（実際の計算のしかたや式の形は、このあと例題で詳しく確認していきます。）

どんなときに6分の1公式が使えるの？条件を整理しよう

6分の1公式は、「いつでも」「どんなグラフでも」使えるわけではありません。
使える場面の条件を知っておくと、「これは6分の1公式の出番だ！」とすぐ判断できるようになります。

6分の1公式が「使える」基本パターン

まずはざっくり、OKな場面と注意が必要な場面を表で整理してみましょう。

図のタイプ	6分の1公式は…	ポイント
二次関数と x 軸	◎ よく使える	x 軸との交点が2つあること
二次関数と直線	◎ 典型パターン	2本のグラフが 2点で交わる
二次関数どうし上に1本、下に1本	〇 条件を満たせばOK	区間内で「上」「下」が入れ替わらない
三次関数や絶対値がまざる複雑なグラフ	△ そのままは危険	形をよく確認してから判断
交点が1つしかない／3つ以上ある特殊な形	✕ 使わない方が安全	面積の範囲がはっきりしない

「6分の1公式は、形があえばとても強力ですが、何でもかんでも使ってよいわけではありません。

条件①：交点が「2つ」とはっきり決まっていること

6分の1公式は、

「2つの交点で区切られた、ふくらみの部分の面積」
をまとめて求める公式です。

そのため、

• グラフとグラフが 2点で交わる
• 左の交点の x 座標を α、右の交点の x 座標を β とできる

この2つがそろっていることが、大前提になります。

もし交点が1つだけだったり、3つ以上あったりする場合は、
そもそも「どこからどこまでの面積か」がはっきりしないので、
6分の1公式をそのまま当てはめるのは危険です。

条件②：区間の間で「上のグラフ」と「下のグラフ」が入れ替わらないこと

面積を求めるときは、普通

上のグラフ − 下のグラフ

を積分します。
6分の1公式も、この形を前提にしているので、

• のあいだで
• ずっと「同じグラフが上」「同じグラフが下」になっている

という状態が必要です。

途中で上下が入れ替わるようなグラフの場合は、

• 区間を分けて積分する
• 6分の1公式を使うとしても、それぞれの区間ごと

といった工夫が必要になります。

条件③：二次関数の部分が「放物線のアーチ」を作っていること

6分の1公式は、二次関数が作るアーチ（山なり／谷なり）と、もう1本のグラフで囲まれた部分に対して働きます。

イメージしやすくするために、次のように考えてみましょう。

• 二次関数を1本えがく
• そのグラフと、もう1本の直線や二次関数で囲まれた「ふくらんだ部分」がある
• その「ふくらみ」の左右の端が、ちょうど交点になっている

このとき、その「ふくらみ」の面積が、6分の1公式のねらっている図形です。

なぜ「6分の1」になるの？やさしい証明で本質をおさえよう

「6分の1公式」と聞くと、
「どうして 6 なんだろう？」「覚えるしかないのかな…」と感じる人も多いと思います。
ここでは、高校数学Ⅱの範囲でできるやさしい導き方を見て、「6」が出てくる理由をつかんでおきましょう。

スタートは(x - α)(x - β)という形

6分の1公式の出発点になる式は、次のような二次式です。

(x - α)(x - β)

• α：左側の交点の x 座標
• β：：右側の交点の x 座標

この二次式は、グラフにすると、x = α と x = β で x 軸と交わる放物線になります。6分の1公式は、この式を α から β まで積分したとき の値に注目した公式です。

ステップ①：展開する

普通の展開と同じですね。

ステップ②：定積分を求める

という形になります。

ステップ③： α と β を代入して差をとる

あとは、

を実際に計算してみると、途中は少し長くなりますがきれいにまとまって

という形が出てきます。

「6分の1」になったあと、面積としてどう使うのか

今の結果を、もう一度書きます。

ここから分かることは、次の2点です。

• (β - α)³ の部分は、「交点どうしの距離」が関わっている
• - のマイナスは、「グラフが x 軸より下にある」ような場合に出てくる符号

実際に面積として使うときには、

• 「面積は必ず正」になるように、最後に絶対値をとる
• 上にくるグラフと下にくるグラフのちがいを、あとでかけ算する

といった工夫を合わせて使っていきます

【ステップ解説】6分の1公式の使い方を、例題で身につけよう

ここからは、実際の問題を使って「どんな流れで6分の1公式を使えばよいか」を確認していきます。まずは、どの例題でも共通になる基本ステップをそろえておきましょう。

6分の1公式の「基本ステップ」

6分の1公式を使うときは、の流れを意識すると、毎回同じリズムで解けます。

ステップ	やること	ねらい
①	囲まれた図形をかく／イメージする	どこからどこまでの面積かをはっきりさせる
②	2本のグラフの交点の x 座標を求める	左の交点：α,右の交点： β を決める
③	「上のグラフ − 下のグラフ」が二次式になるか確認	6分の1公式の形に近づける
④	その二次式を(x - α)(x - β)の形でとらえる	公式にそのまま代入できるようにする
⑤	6分の1公式に当てはめ、最後に面積として正の値を確認	計算ミスや符号のミスを防ぐ

例題1：二次関数と x 軸で囲まれた面積（基本パターン）

【例題1】

二次関数 y = x² - 4x と x 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。

ステップ① 図をイメージする

• は、下に凸な放物線です。
• x 軸との交点は x = 0 と x = 4 になります。

つまり、x = 0 と x = 4 で区切られた「アーチ」の面積を求めればよいことが分かります。

ステップ② 交点の x 座標を整理

• 左の交点：α = 0
• 右の交点：β = 4

とおきます。

ステップ③の形かを確認

すでに

y = x(x - 4)

となっているので、

y = (x - 0)(x - 4)

とみなせますね。

つまり α = 0, β = 4 のときの (x - α)(x - β)の形になっています。

ステップ④ 6分の1公式を利用

先ほどのブロックで扱ったように、

でした。
この問題では、「二次関数と x 軸で囲まれた図形」なので、
x 軸より下側の部分の“符号”に注意しながら、面積を考えます。

計算だけ見ると

となり、値は負になります。

しかし、求めたいのは面積なので、最後に絶対値をとって

とすればよい、という流れになります。

この例題で学んでおきたいこと

• 二次関数と x 軸だけなら、「上： x 軸、下：二次関数」と決めてしまうと考えやすくなります。
• 値そのものは負になっても、面積は必ず正に直す、というクセをつけておくと安全です。

例題2：二次関数と直線で囲まれた面積（典型パターン）

【例題2】
二次関数 y = x² と直線 y = 2x によって囲まれた図形の面積を求めなさい。

ステップ① 図をイメージする

• y = x²は上に開いた放物線。
• y = 2x は原点を通る直線です。

図を書くと、2つのグラフが2点で交わり、そのあいだに“レンズ形”の図形ができているイメージになります。

ステップ② 交点を求める

交点では x² = 2x なので、

より、

となります。

• 左の交点：α = 0
• 右の交点：β = 2

です。

ステップ③ 「上 − 下」の二次式をつくる

区間 では、

• 直線 y = 2x が上
• 放物線 y = x² が下

なので、面積を求める積分は

になります。

ここで、積分する前に

と変形できることに注目します。
つまり、

という形でとらえられますね。

ステップ④ 6分の1公式に当てはめる

先ほどの公式を使うと、

となります。

ところが、今回積分したいのは
(2x - x²) = -(x - 0)(x - 2)なので、

と求められます。

この値はすでに「上 − 下」で計算した結果なので、そのまま面積

としてよいことになります。

この例題で学んでおきたいこと

• 「上 − 下」をとった二次式を、少し変形して(x - α)(x - β)を見つけるのがポイントです。
• 符号が 1つついているだけでも、「どちらを積分しているのか？」を式の中で見分けられるようにしておくと安心です。

例題3：二次関数どうしで囲まれた面積（少しレベルアップ）

【例題3】
二次関数 y = x² + 1 と y = - x² + 5 によって囲まれた図形の面積を求めなさい。

ステップ① 図をイメージする

• y = x² + 1：上に開いた放物線（頂点は (0, 1)）
• y = - x² + 5：下に開いた放物線（頂点は (0, 5)）

2つの放物線が左右対称な位置で交わり、真ん中あたりに“目”のような図形ができます。

ステップ② 交点を求める

交点では、

となるので、

です。

• 左の交点：
• 右の交点：

となります。

ステップ③ 「上 − 下」の二次式を1本にまとめる

区間 では、

• 上：y = - x² + 5
• 下：y = x² + 1

なので、面積を求める積分は

になります。

ここで、

とくくってから、

と分解できることに気づくと、

という形でとらえられます。

つまり、のとき

となるので、係数 -2 以外の部分は、ちょうど 6分の1公式の形に対応していると分かります。

ステップ④ 6分の1公式で積分する

まず、6分の1公式から

となります。

そして実際に積分したいのは
なので、

と表せます。
あとは 6分の1公式の結果

に をかけて

とすればOK、という流れです。

（具体的な数値計算は、授業や自分のノートで実際に手を動かして確認していくとよいでしょう。）

この例題で学んでおきたいこと

• 二次関数どうしの場合も、「上 − 下」をとると1本の二次関数になります。
• その二次関数を因数分解して、(x - α)(x - β)の形を見つけるのがポイントです。

係数（ここでは -2）の部分は、あとからまとめてかけ算すればよい、という考え方も身につけておくと、式が整理しやすくなります。

入試レベルの問題で「本当に使えるか」をチェックしよう

ここからは、テスト本番をイメージした問題で、6分の1公式の使い方を確認していきます。
共通テスト風の「答えだけ出す問題」と、記述式の「途中式も書く問題」の2つにチャレンジしてみましょう。

例題4：共通テスト風の実戦問題（時間短縮を体感しよう）

【例題4】
二次関数 y = x² - 4x + 3 と x 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。

まずは「普通の積分」だとどうなるか？

普通に解くなら、次の流れになります。

1. 1. x 軸との交点を求める
   x² - 4x + 3 = 0 ⇒ (x - 1)(x - 3) = 0 ⇒ x = 1,3
2. 2. 面積は
   
   として積分する（グラフが x 軸より下にあるため）。
3. 3. 展開→積分→代入…と計算を進める

計算はそこまで難しくありませんが、テスト本番で何問も解いていくとなると、1問ごとの計算量が意外と負担になってきます。

6分の1公式を使うと…？

なので、交点の x 座標は

• α = 1
• β = 3

として、

y = (x - α)(x - β)

の形になっています。

6分の1公式

より

です。

実際の面積は、グラフが x 軸より下にあるので、

となります。

例題5：記述式入試での使い方（途中式の書き方を確認）

【例題5】
二次関数 y = - x² + 4x と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めなさい。
ただし、途中の計算も書いて説明しなさい。

6分の1公式を「いきなり答えだけ」で使うのは危険

たとえば、いきなり答案に

x 軸との交点は

だから、6分の1公式より

となる。

とだけ書いてしまうと、

• なぜその式になるのか説明していない
• どのような積分をしたのか分からない

と見なされて、部分点しかもらえない可能性があります。記述式の場合は、「どの関数を、どの区間で積分したのか」を式の形で示しておくことが大切です。

記述の流れの一例

答案のイメージを、流れごとに見てみましょう。

1. 1. 交点を求める
   
   

   よって、x 軸との交点の x 座標は 0,4 である。

2. 2. どの積分を考えているかを書く
   この二次関数は区間 で x 軸より上にあるので、
   囲まれた図形の面積 S は
   
   

   である。

3. 3. 6分の1公式に対応する形を示す
   
   

   と変形できるので、

   
   
   となる。
4. 4. ここで6分の1公式を使うことを書く
   α = 0, β = 4 とおくと、
   
   

   であるから、

   
   
   

   となる。

このように書いておけば、

• どの積分を考えたか
• どのように 6分の1公式につなげたか

が、採点者にもはっきり伝わります。

6分の1公式の“落とし穴”Q&A ─ よくあるミスと不安をまとめて解決しよう

6分の1公式は便利ですが、「なんとなく当てはめているだけ」だと失点の原因になりやすい公式でもあります。
ここでは、よくある疑問やミスをQ&A形式でまとめて確認しておきましょう。

Q1. 面積なのにマイナスになってしまいます…

6分の1公式のもとになっている式は

という「積分の値」です。
このとき、グラフが x 軸より下にあると、積分値は負になります。

しかし、問題で聞かれているのは「面積」なので、最後に必ず正の値に直す必要があります。

Q2. この問題に、6分の1公式を使ってよいのか自信がありません…

6分の1公式を「使ってよいかどうか」は、次の3点をチェックすると判断しやすくなります。

チェック項目	YESなら…
交点がちょうど2つあるか	6分の1公式の候補になる
その2つの交点のあいだが“ふくらみ部分”か	面積の範囲がはっきりする
上 − 下が二次式1本にまとまるか	公式の形まで持ち込める

どれか1つでもはっきりしないときは、無理に6分の1公式を使わず、普通に積分するほうが安全です。

迷ったときの合言葉は、

「交点2つ・ふくらみ1つ・二次式1本」

この3つがそろっていれば、6分の1公式の出番だと考えてみてください。

Q3. 定期テストや共通テストで使っても減点されませんか？

共通テスト（マーク式）では、
計算の途中は採点されず、「最終的な答えが合っているか」で判定されます。
したがって、6分の1公式を正しく使って正しい答えが出ていれば、問題ありません。

記述式のテスト・入試では、

• 「どの関数を、どの区間で積分したか」
• 「どうやって6分の1公式の形にもっていったか」

が式として読み取れるように書いておけば、原理に沿った解法として十分認められます。

ただし、最近は「6分の1公式」を使う場合は、証明してから使用すること、のような断り書きがある場合もあります。そのような場合に備えて、しっかり証明できるようにしておきましょう。

Q4. 毎回6分の1公式で解いた方がよいのでしょうか？

A.
6分の1公式は「必殺技」というより、「必要な場面で時短してくれる道具」と考えるとよいです。

• 定期テストの基本問題 → 普通の定積分でしっかり練習
• 入試や模試の計算が重い問題 → 形が合えば6分の1公式で一気に処理

という使い分けができると、どちらのパターンにも対応しやすくなります。

6分の1公式だけに頼ってしまうと、

• 積分そのものの力がつきにくい
• 公式が使えない問題で手が止まってしまう

といった心配も出てきます。
まずは基本の積分を身につけてから、「ここは6分の1公式で短く書いてみよう」と少しずつ取り入れていくと安心です。

Q5. 公式の形をすぐ忘れてしまいます…

「分母の数」だけを覚えようとすると、たしかに混乱しやすくなります。
そこで、セットで覚えるポイントを決めておくと忘れにくくなります。

• 「交点どうしの距離」を (β - α) としたとき、その3乗が出てくる
• 分母の 6 は、「二次関数を積分したときの と、途中の が合わさったもの」とイメージする

というように、「距離の3乗」「 と、 が合体して 」とセットで覚えておくと、記憶が安定しやすくなります。

6分の1公式を味方にするまとめ

ここまでの内容を、テスト前に見直ししやすいように整理しておきましょう。

この記事のまとめ（ここだけでももう一度チェック！）

• 6分の1公式は、「二次関数が関わる面積」を時短で求める公式
  → 特に、二次関数と x 軸／直線／二次関数どうしで囲まれた図形で力を発揮します。
• 使ってよいかどうかは「交点2つ・ふくらみ1つ・二次式1本」が合言葉
  → 交点が2つはっきり決まるか、そのあいだが1つの“ふくらみ部分”になっている
  か、上−下が二次式1本になるかを必ず確認しましょう。
• 6分の1になる理由は、普通の積分を計算した結果
  → (x - α)(x - β) を展開して積分すると、
  
  が出てきます。
• 実際に使うときは、「上 − 下」を型でとらえるのがコツ
  → 交点の x 座標を α,β とおき、二次式を因数分解して (x - α)(x - β) の形を見つける練習をしておきましょう。
• 面積は必ず正になるように、符号と絶対値をチェックする
  → 積分した値が負になっても、求めたいのは「面積」なので、最後に必ず正の値になっているかを確認することが大事です。
• 共通テストでは「時短テク」、記述式では「途中式の書き方」がポイント
  → マーク式では計算時間の短縮に、記述式では「どの積分をしているか」「どう6分の1公式につなげたか」を式で示すことを意識しましょう。

6分の1公式は、「読んで分かったつもり」だけではなかなか定着しません。
自分で問題を解いて、間違えたパターンを管理していくことが、入試本番で使いこなす近道になります。

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

AI質問の特徴

問題を撮影するだけ！
勉強中にわからない数学の問題を撮影すると、すぐにヒントや解き方を丁寧に解説してくれます。

考え方や途中過程まで、ステップごとに解説
答えだけでなく、解答に至るまでのステップをわかりやすく提示。追加解説まで丁寧に説明してくれます。

AI質問機能を活用することで、定期テストや入試の対策に向けて、理解の“穴”をすぐに埋めることに役立ちます。「進研ゼミ」は以下より無料で体験いただけます（スマートフォン／タブレットからアプリをダウンロード）。