外心とは？定義と意味を教えてください

外心の定義と基本性質

外心は「3頂点から等距離」「外接円の中心」「垂直二等分線の交点」という3つの等価な定義を持ちます。

外心の性質と特徴

外心の数学的定義を正確に理解しましょう。以下の3つの定義は、すべて同じ点を表しています。

定義1：3頂点から等距離

△ABCの外心Oは、3つの頂点A, B, Cから等しい距離にある点：

（Rは外接円の半径）

定義2：外接円の中心

三角形の3つの頂点すべてを通る円を外接円といい、その中心が外心です。どんな三角形にも、必ず1つだけ外接円が存在します。

定義3：垂直二等分線の交点

三角形の3辺それぞれの垂直二等分線は1点で交わり、その交点が外心です。

• 辺ABの垂直二等分線上の点は、AとBから等距離
• 辺BCの垂直二等分線上の点は、BとCから等距離
• これらの交点は、A, B, Cすべてから等距離 → これが外心

重要な性質

• 唯一性：外心は必ず1つだけ存在する
• 等距離性：外心から各頂点までの距離は外接円の半径に等しい
• 3本の垂直二等分線：3辺の垂直二等分線は必ず1点（外心）で交わる

外接円と外心との関係

外接円の定義：

三角形の3つの頂点すべてを通る円を外接円といいます。どんな三角形にも必ず1つだけ外接円が存在します。

外接円と外心の関係：

• 外接円の中心 = 外心
• 外接円の半径 = 外心から各頂点までの距離

外接円の半径 R：

正弦定理より：

ここから外接円の半径 R を求められます：

（a, b, c は各辺の長さ、A, B, C は各角の大きさ）

この関係式は、外心と正弦定理を結びつける重要な公式です。

外心の作図方法

外心は、三角形の2辺の垂直二等分線を引き、その交点として求められます。

垂直二等分線で外心を求める方法

作図の原理：

• 線分ABの垂直二等分線上の点は、AとBから等距離
• 線分BCの垂直二等分線上の点は、BとCから等距離
• この2つの垂直二等分線の交点は、A, B, Cすべてから等距離 = 外心

作図手順：

ステップ1：2辺を選ぶ

例えば、辺ABと辺BCを選びます。

ステップ2：1本目の垂直二等分線を引く

• 辺ABの中点を求める
• 中点を通りABに垂直な直線を引く

ステップ3：2本目の垂直二等分線を引く

• 辺BCの中点を求める
• 中点を通りBCに垂直な直線を引く

ステップ4：交点が外心

2本の垂直二等分線の交点がO（外心）

重要：3本目の垂直二等分線（辺CAの）も必ず同じ点Oを通ります。これは外心の性質から保証されています。

コンパスと定規で外心を作図する方法

コンパスと定規を使った具体的な作図手順を説明します。

垂直二等分線の作図方法（辺ABの場合）：

ステップ1：コンパスで、点Aを中心に半径AB以上の円弧を描く
ステップ2：同じ半径で、点Bを中心に円弧を描く（2つの円弧が2か所で交わります）
ステップ3：2つの交点を直線で結ぶ→ これがABの垂直二等分線
ステップ4：別の辺（例：BC）でも同様に垂直二等分線を作図
ステップ5：2本の垂直二等分線の交点が外心O
ステップ6：Oを中心に、半径OA（= OB = OC）の円を描くと外接円

この方法を使えば、コンパスと定規だけで正確に外心と外接円を作図できます。

フリーハンドで円に内接する三角形を描くときは、先に円を描いてから、三角形の各頂点が演習場になるように描くと描きやすい。

三角形の種類による外心の位置

三角形が鋭角・直角・鈍角のどれかによって、外心の位置は大きく変わります。

鋭角三角形の場合

鋭角三角形の特徴：

3つの角がすべて90°未満の三角形。

外心の位置：

鋭角三角形では、外心は三角形の内部にあります。

理由：

• すべての角が鋭角のとき、各辺の垂直二等分線は三角形の内部で交わります
• 外接円の半径は比較的小さくなります

具体例：

正三角形（すべて60°）では、外心は三角形の中心に位置します。正三角形は鋭角三角形の代表例です。

直角三角形の場合

直角三角形の外心の位置：

直角三角形では、外心は斜辺の中点にあります。

これは直角三角形の最も重要な性質の1つです。

証明：

直角三角形ABCで、∠C=90°とします。

1. 1. 斜辺ABの中点をMとすると、Mから3頂点までの距離が等しくなります
2. 2. MA = MB（中点の定義）
3. 3. （直角三角形の性質：斜辺の中点から直角の頂点までの距離は斜辺の半分）
4. 4. よって MA = MB = MC → M が外心

重要な性質：

直角三角形の外接円の直径 = 斜辺の長さ

（c は斜辺）

応用：

円に内接する三角形で、1辺が直径なら、その対角は直角になります（タレスの定理の逆）。

鈍角三角形の場合

鈍角三角形の特徴：

1つの角が90°より大きい三角形。

外心の位置：

鈍角三角形では、外心は三角形の外部にあります（鈍角の反対側）。

理由：

• 各辺の垂直二等分線は三角形の外部で交わります
• 外接円の半径は比較的大きくなります

確認方法：

最大角が90°より大きいかどうかで、鈍角三角形かどうかを判定できます。

特殊な三角形での外心

正三角形の場合：

• 外心、内心、重心、垂心がすべて同一点（中心）に一致します
• 外接円の半径： （a は1辺の長さ）

二等辺三角形の場合：

• 外心は対称軸上にあります
• 底辺の垂直二等分線と対称軸が一致します
• 頂角の二等分線上にも外心があります

三角形の種類	外心の位置	特徴
鋭角三角形	内部	すべての角が90°未満
直角三角形	斜辺の中点	1つの角が90°
鈍角三角形	外部	1つの角が90°より大きい
正三角形	中心	外心、内心、重心、垂心がすべて同一点

外心の座標を計算で求める方法

3頂点の座標が与えられた場合、連立方程式を解いて外心の座標を求めることができます。

外心を座標で求める方法（連立方程式の活用）

基本方針：

外心O (x, y) は3頂点から等距離なので：

この等式から連立方程式を立てて解きます。

例題：A (0, 0), B (4, 0), C (0, 3)の三角形の外心を求めよ。

解法：

ステップ1：外心O (x, y)とすると：

ステップ2：OA² = OB²より：

ステップ3：OA² = OC²より：

答え：外心

この三角形は直角三角形（∠A = 90°）なので、外心は斜辺BCの中点になっています。実際、BCの中点は (,)=(2,)で一致します。

座標を使った外心の計算例

もう少し複雑な例で、計算の流れを詳しく見てみましょう。

例題：A (1, 2), B (5, 4), C (3, 6) の三角形の外心と外接円の半径を求めよ。

解法：

ステップ1：外心を とする

ステップ2：OA² = OB²より

展開して整理：

これを①とします。

ステップ3：OB² = OC²より

展開して整理：

これを②とします。

ステップ4：①と②を解く

①：2x + y = 9、②：-x + y = 1、①-②：3x = 8より ②に代入：

外心：

ステップ5：外接円の半径を求める

外接円の半径：

ポイント：計算ミスを防ぐため、途中式を丁寧に書き、展開や整理の各段階を確認しましょう。

まとめ｜外心の性質・作図・座標のポイント

外心は三角形の重要な点の1つです。ここまでの内容を振り返りましょう。

1. 外心の定義

• 外心は3頂点から等距離にある点 = 外接円の中心
• 3つの等価な定義：① 3頂点から等距離、② 外接円の中心、③ 垂直二等分線の交点

2. 作図方法

• 2辺の垂直二等分線の交点として求める
• コンパスと定規で正確に作図可能
• 3本目の垂直二等分線も必ず同じ点を通る

3. 外心の位置

三角形の種類	外心の位置
鋭角三角形	内部
直角三角形	斜辺の中点
鈍角三角形	外部（鈍角の反対側）

4. 正弦定理との関係

（R は外接円の半径、 Aは角の大きさ、a は角Aの対辺の長さ）

5. 座標計算

• 外心の座標をO (x, y)とし、OA² = OB² = OC² から連立方程式を立てる
• 2つの等式から x, y を求める
• 求めた座標から外接円の半径も計算可能

学習のコツ

• 外心の3つの定義をしっかり理解し、問題に応じて使い分ける
• 三角形の種類によって外心の位置が変わることを覚える
• 作図と計算の両方の方法をマスターする
• 正弦定理と外接円の半径の関係を押さえる

外心の理解が深まると、三角形の性質全体が見通しよくなります。しかし、

• 「外心と他の五心の違いが混乱する」
• 「座標計算で途中でミスしてしまう」
• 「作図がうまくできない」

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