ねじれの位置とは何ですか？

空間における2直線の位置関係

空間内の2直線は、①交わる、②平行、③ねじれの位置のいずれかです。

2直線の位置関係3パターン

位置関係	共有点	同一平面	方向
①交わる	1個ある	上にある	異なる
②平行	ない	上にある	同じ
③ねじれの位置	ない	上にない	異なる

判定の流れ

1. 1. 共有点があるか？
   
   • ある → 交わる
   • ない → 次へ
2. 2. 平行か？
   
   • 平行である → 平行
   • 平行でない → ねじれの位置

平面と空間の違い

平面の場合：

• 2つの直線は必ず同一平面上にある
• したがって「交わる」か「平行」のどちらか

空間の場合：

• 2つの直線が同一平面上にあるとは限らない
• 同一平面上にない場合、「ねじれの位置」になる

重要：ねじれの位置は3次元空間でのみ現れる概念です。

ねじれの位置の判定方法

定義に基づく判定とベクトルによる判定の2つの方法があります。

定義にもとづく判定（四点同一平面の否定）

判定手順：

直線 l 上の異なる2点 A, B と、直線 m 上の異なる2点 C, D をとる。

1. 1. 交点の確認：直線 l と m が交わるか確認
   
   • 交わる → ねじれでない
2. 2. 平行の確認：直線 l と m が平行か確認
   
   • 平行 → ねじれでない
3. 3. 4点の同一平面判定：4点 A, B, C, D が同一平面上にないことを示す
   
   • 同一平面上にない → ねじれの位置

4点が同一平面上にない条件（ベクトル利用）：

,,が1次独立

つまり、

が s = t = u = 0 のときのみ成り立つ。

ベクトルによる最短判定

判定手順：

直線 l の方向ベクトルを d₁、直線 m の方向ベクトルを d₂ とする。

ステップ1：平行でないことの確認

d₁ と d₂ が平行でない、すなわち、d₂ = kd₁ となる実数 k が存在しない

ステップ2：交わらないことの確認

直線 l 上の点 A、直線 m 上の点 C とすると、が d₁ と d₂ の1次結合で表せない
すなわち、 = s・d₁ + t・d₂ となる s, tが存在しない

この2条件を満たせば、2直線はねじれの位置にあります。

立方体や四面体でのねじれの位置の例

立方体では辺と対角線、四面体では対辺同士がねじれの位置になります。

立方体での例

立方体ABCD-EFGHを考えます。

（上の面がABCD、下の面がEFGH）

ねじれの位置の例：

直線1	直線2	判定
辺AB	辺CG	ねじれの位置
辺AB	面対角線CF	ねじれの位置
体対角線AG	辺EF	ねじれの位置
辺AB	辺EF	平行（ねじれではない）
辺AB	辺BC	交わる（ねじれではない）

確認：辺ABと辺CG
4点A, B, C, Gが同一平面上にないことが分かります。また：

• 交わらない（接点がない）
• 平行でない（異なる方向）

→ よってねじれの位置

四面体での例

四面体OABCの対辺（向かい合う辺）：

• 辺OA と 辺BC
• 辺OB と 辺AC
• 辺OC と 辺AB

これらの対辺はすべてねじれの位置にあります。

理由：
例えば辺OAと辺BCを考えると：

• 4点O, A, B, Cは同一平面上にない（四面体を構成している）
• OAとBCは交わらない
• OAとBCは平行でない

→ よってねじれの位置

性質：正四面体では、対辺同士は垂直に交わります（ねじれの位置で垂直）。

三角柱・四角柱での例

三角柱ABC-DEFでの例：

直線1	直線2	判定
辺AB	辺EF	ねじれの位置
辺AB	辺DE	平行（ねじれではない）
辺AC	辺DF	平行（ねじれではない）

四角柱ABCD - EFGHでの例：

直線1	直線2	判定
辺AB	辺FG	ねじれの位置
対角線BD	辺EH	ねじれの位置
辺AB	辺GH	平行（ねじれではない）

判定のコツ：図を描いて、4点が同一平面上にあるかを確認しましょう。

ねじれの位置の2直線の距離と角

距離は共通垂線の長さ、角は方向ベクトルの内積で求めます。

距離の定義（共通垂線）

最短距離の定義：

ねじれの位置にある2直線 l, m に対して、l 上の点Pと m 上の点Qの距離 PQ の最小値を、2直線間の距離といいます。

共通垂線：

2直線 l, m の両方に垂直な直線を共通垂線といいます。
共通垂線と l, m の交点をそれぞれP, Qとすると、線分PQの長さが2直線間の距離になります。

性質：ねじれの位置にある2直線には、共通垂線がただ1本存在します。

成す角

成す角の定義（2通り）：

方法1（平行移動）：

一方の直線を平行移動して、もう一方の直線と交わるようにする。このときできる角（鋭角または直角）を2直線の成す角という。

方法2（方向ベクトル）：

直線 l の方向ベクトルを d₁、直線 m の方向ベクトルを d₂ とすると

注意：成す角は 0° ≦ θ ≦ 90° の範囲で定義します（鋭角または直角）。

垂直の判定

垂直の定義：

ねじれの位置にある2直線の成す角が 90° のとき、この2直線は垂直であるといいます。

判定方法（方向ベクトル）：

直線 l の方向ベクトルを d₁、直線 m の方向ベクトルを d₂ とすると、

2直線が垂直であることの必要十分条件は：

例：正四面体の対辺は、ねじれの位置にあり、かつ垂直です。

まとめ｜ねじれの位置の3つの条件と性質のポイント

ねじれの位置について学んだ内容を振り返りましょう。

1. ねじれの位置の定義

ねじれの位置は同一平面上にない2直線の位置関係（空間特有の概念）

3つの条件：

1. 1. 交わらない
2. 2. 平行でない
3. 3. 同一平面上にない

2. 空間における2直線の位置関係

位置関係	特徴
交わる	共有点が1つある
平行	方向が同じ、同一平面上
ねじれの位置	交わらず、平行でもない

3. 判定法

• 定義による判定：4点の同一平面判定
• ベクトルによる判定：方向ベクトルの平行性と1次独立性を確認

4. 性質

• 距離：共通垂線（ただ1本）の長さで定義
• 成す角：方向ベクトルの内積で計算（0°〜90°）
• 垂直：d₁・d₂ = 0

5. 具体例

立体	ねじれの位置の例
立方体	辺と交わらない対角線、交差する辺
四面体	対辺同士（3組すべて）
角柱	特定の辺と辺、辺と対角線
実生活	立体交差の道路

ねじれの位置の理解は、空間図形の問題を解く上で重要です。しかし、

• 「平行とねじれの位置の違いが分からない」
• 「立体図形でどれがねじれの位置か判定できない」
• 「共通垂線や成す角の求め方が難しい」

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

AI質問の特徴

問題を撮影するだけ！
勉強中にわからない数学の問題を撮影すると、すぐにヒントや解き方を丁寧に解説してくれます。

考え方や途中過程まで、ステップごとに解説
答えだけでなく、解答に至るまでのステップをわかりやすく提示。追加解説まで丁寧に説明してくれます。

AI質問機能を活用することで、定期テストや入試の対策に向けて、理解の“穴”をすぐに埋めることに役立ちます。「進研ゼミ」は以下より無料で体験いただけます（スマートフォン／タブレットからアプリをダウンロード）。