三角比の相互関係とは？

三角比の定義

三角比は、直角三角形における辺の比として定義され、単位円を使ってより広い角度に拡張できます。

三角比の定義（直角三角形での比）

直角三角形で、角θに対して：

sin θ = 対辺 / 斜辺、cos θ = 隣辺 / 斜辺、tan θ = 対辺 / 隣辺

単位円による三角比の理解｜座標と角度の関係

単位円（半径1の円）上で角θをとったとき、その動径と円の交点を(x, y)とすると：

cos θ = x（横座標）、sin θ = y（縦座標）、（傾き）

重要：単位円を使えば、90°を超える角度でも三角比を定義できます。これにより、三角比が三角関数へと拡張されます。

sin²θ + cos²θ = 1 の導き方

ピタゴラスの定理から導かれます。直角三角形と単位円の2通りの方法で証明できます。

三角比の相互関係の導出｜sin²θ + cos²θ = 1 の証明

方法1：直角三角形からの導出

直角三角形で、斜辺をr、対辺をa、隣辺をbとすると：

sin、

ピタゴラスの定理より

両辺をr²で割ると：

したがって：

証明完了！

方法2：単位円からの導出

単位円（半径1）上の点(x, y) = (cos θ, sin θ)は、円の方程式 x² + y² = 1 を満たします。
したがって：

証明完了！

三角比の基本関係式の変形と利用法

sin²θ + cos²θ = 1 から様々な変形公式が得られます。

主な変形：

変形公式	用途
sin2θ = 1 - cos2θ	cosからsinを求める
cos2θ = 1 - sin2θ	sinからcosを求める
	平方根をとる（符号注意）
	平方根をとる（符号注意）

注意：平方根をとるときは、角度θの範囲によって符号（＋または−）を判定します。

• 0° < θ < 90° のとき：sin θ > 0、cos θ > 0
• 90° < θ < 180° のとき：sin θ > 0、cos θ < 0

使い分け：

• 一方の値が分かっているとき、他方を求める
• 式を簡単化するとき（例：sin²θを cos²θ で表す）

三角比の相互関係の具体的な使い方

値の計算、式変形、方程式の解法、恒等式の証明など、様々な場面で活用します。

例題1：一つの三角比から他の値を求める

問題：のとき、cos θ、tan θを求めよ。

解法：
sin²θ + cos²θ = 1より：

0° < θ < 90° のとき cos θ > 0なので：

より：

答：、

例題2：三角比の相互関係を使った式の簡単化

問題：sin²θ + cos²θ + tan²θを簡単にせよ。

解法：
sin²θ + cos²θ = 1 より：

さらに を使えば：

答：

例題3：三角方程式を相互関係で統一して解く

問題：を解け。

解法：
ステップ1：sin²θ = 1 - cos²θでcosに統一

ステップ2：cos θ = t と置いて二次方程式を解く

ステップ3：または cos θ = 1 から θ を求める

のとき θ = 60°、300°

cos θ = 1 のとき θ = 0°

答：θ = 0°、60°、300°

例題4：三角比の恒等式を相互関係で証明する

問題： - tan²θ = 1を証明せよ。

証明：
より

(左辺)

sin²θ + cos²θ = 1より1 - sin²θ = cos²θなので

（右辺）

証明完了！

ポイント：tanをsinとcosで表し、通分して基本関係式を使う。

まとめ｜三角比の3つの相互関係と活用法のポイント

三角比の相互関係について学んだ内容を振り返りましょう。

1. 3つの基本相互関係を覚える

公式①：基本関係式

公式②：正接の定義

公式③：tan²の関係式

2. 使い分けの基準

場面	使う公式
一つの値から他を導く	公式①、②、③すべて
式の簡単化	主に公式①
方程式で変数を統一	公式①でsinまたはcosに統一
恒等式の証明	公式①、②、③を組み合わせる

3. 注意点

• 符号の判定：平方根をとるときは、角度θの範囲で符号を判定
• 定義域の確認：tan θは90°、270°などで定義されない
• 変形の方向：式を簡単にする方向に変形する

4. 活用例のまとめ

用途	具体例
値の計算	sin θから cos θ、tan θを求める
式変形	sin2sin2θ + cos2cos2θ + tan2tan2θ = 1 + tan2tan2θ
方程式の解法	2sin2θ + 3cos θ - 3 = 0を解く
恒等式の証明	- tan2θ = 1を示す

5. 発展

加法定理や2倍角公式でも、これらの相互関係が基礎となります。しっかりマスターしておきましょう！

三角比の相互関係の理解は、三角関数の問題を解く上で基礎となります。しかし、

• 「3つの公式をどう使い分ければいいか分からない」
• 「方程式でどの変数に統一すればいいか迷う」
• 「符号の判定が難しい」

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