指数法則はどんなルール？

指数法則の7つの基本ルール（0乗・負の指数・分数乗を含む）

指数の計算を安定させるためには、まずすべてのルールを1枚で俯瞰できる状態にすることが大事です。

0乗・負の指数・分数乗といった特殊な形も、実はこの7つの基本ルールの中にすべて含まれます。

ここでは、定期テストで最も使う 7つの指数法則 を表にまとめました。まずは「どんな型があるか」を軽く眺め、後で理由と使いどころを確認していきましょう。

ルール	かたち	使いどころの合図
1. 乗法の加法		底が同じで×が見えたら足す
2. 除法の減法		底が同じで÷が見えたら（上−下）
3. 累乗の累乗		かっこに指数が重なる
4. 積の累乗		かっこの中が積
5. 商の累乗		かっこの中が分数
6. 0乗・負の指数	a0 = 1,	0乗は1、負号は分母へ
7. 分数乗（有理数乗）		乗は n 乗根

この7つの法則は別々のルールに見えますが、どれも「a を何回かけたか」という回数の考え方 に統一されています。掛け算では回数が合わさり、割り算では打ち消し合い、0 乗や負の指数・分数乗もすべてその“回数の拡張”として理解できます。

一覧として形を一度確認したあとは、次の章でそれぞれがなぜ成り立つのか（定義からの理由）を見ていくと、公式を丸暗記しなくても指数計算が安定して使えるようになります。

指数法則が成り立つ理由（0 乗・負の指数・分数乗の定義）

指数法則は「a を何回かけたかの回数」を数えていると考えると理解しやすくなります。

乗法（×）が足し算になる理由

a^mは「a を m 回かける」という意味。
ここにaⁿを掛ければ、合計で m + n回かけたことになります。

→

除法（÷）が引き算になる理由

分母と分子に同じ a があれば打ち消し合います。
残った回数が m - n 。

→

累乗の累乗が「掛け算」になる理由

は「a^m を n 回かける」こと。
a は m 回 n セット → 合計 mn 回。

→

ここでも“回数をまとめる”だけで、式変形の理由が見えてきます。指数が外にも中にもあるときは、中身を一つのかたまりと見て回数を掛け合わせると迷いません。

積・商の累乗がすべてに適用できる理由

(ab)ⁿ：a も b も n 回ずつかける

：分子も分母も n 回ずつかける

→ だから

※ただし は同じ規則は使えないため注意が必要です。

0乗と負の指数の理由

ですが、指数法則では
よって
→ （ただし ）

また

に m < n を入れると負の指数になります。

不足分を分母に移すイメージで

→

分数乗（有理数乗）の理由

を「n 乗すると a に戻る数」と定義します。

するととなり、

という関係が自然に導かれます。根号に戻して確かめる往復チェックを覚えると、分数乗の不安はかなり減ります。

指数法則に関連した練習問題

指数法則の7つのルールと、その理由・典型ミスまで確認したら、次は実際に手を動かして計算できるかを確かめる段階です。指数の計算は、

• 底をそろえる
• ×,÷で指数を加減する
• 0乗・負の指数・分数乗を正しい形に直す

という流れさえ身につけば、ほとんどの問題が同じパターンで処理できます。

ここでは、テストでよく出る積の累乗・二重指数・底合わせの3つを題材に、「どのルールを使うか」「どこがミスしやすいか」を意識しながら練習していきましょう。

問題1： を展開せよ

解答・解説

1. 1. 積の累乗：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ を全部に配る
2. 2.

A：8x⁶y³

検算：かっこ中のすべてに3乗が配られているか？

問題2：を求めよ

解答・解説

なので

A：8

検算：は 4 乗根、べきと根の順を整理したか？

問題3：を 2 を底にして簡単にせよ

解答・解説

4 = 2² なので

A：

検算：底合わせ→加法の順で一貫しているか？

指数計算でミスを防ぐ3つのコツ（テスト本番用）

• 開始1分の儀式
  答案の余白に「7点セット表」を手書きして記憶を呼び出す。
• 見直しの順番
  
  1. 1. 底そろえる
  2. 2. ×か÷かで加減を決める
  3. 3. 負指数は分母へ
  4. 4. 分数乗は根号に戻す

よくある誤答と修正ポイント

• (ab)ⁿ の配り忘れ → “全部にn乗”を声に出して指差しチェック
• をと逆にする → “上−下”を式上に矢印で書く
• をそのまま書き残す → 分母に落とし正の指数に直してから次へ

まとめ｜指数法則の7ルールと計算のポイント

ここまでの内容を振り返り、高校数学で押さえておくべき指数法則のポイントを整理しましょう。

指数法則の基本7ルール

• （底が同じで × なら足す）
• （底が同じで ÷ なら上−下）
• （二重指数は掛け算）
• （積の中身に全部配る）
• （分数にも等しく配る）
• a⁰ = 1、（0乗は1、負の指数は分母へ）
• （分数乗は根号と往復できる）

よくあるミスの原因

• (ab)ⁿ の「配り忘れ」
• の引き算の方向ミス（上−下が基本）
• の逆数化忘れ
• 分数乗を根号に戻さず判断して混乱する

計算を安定させるコツ

• 計算前に「底そろえ → 加減 → 分母へ → 根号へ」の順で処理する
• 二重指数は先に に一本化する
• 30秒検算で「配り忘れ・引き算の向き・負の指数・根号」を指差しチェックする

指数法則が成り立つ理由

• 指数は「a を何回かけたか」を数えているだけ
• 乗法は回数が合わさるので「m + n」
• 除法は打ち消し合うので「m - n」
• 0乗・負の指数・分数乗もすべて回数の拡張で説明できる

テスト本番でのルーティン

• 余白に「7点セット」をメモして記憶を呼び出す
• 底を整えてから一気に指数をまとめる
• 分数乗を根号に戻して整理し、見え方を統一
• よくある誤答は「全部にn乗」「上-下」「分母へ」の口グセで防止

指数を学んでも、

• 「指数の足し算か引き算かが理解できない」
• 「途中の論理がつながらず、自分で説明できない」
• 「練習問題を解いたものの、本当に正しいか自信が持てない」

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