期待値とは？

まず覚えるべき「期待値の表」のテンプレート

期待値E(X) を求めるときは、次の3列をサッと作るだけで計算が一気に整理されます。

• 値（）：起こりうる結果
• 確率（）：その結果が出る確率
• かけ算（・P）：値に、確率という“重み”をかけたもの

値	確率	× P
…	…	…
合計	—	E(X)

手順はこの3ステップに固定すると安定します。

1. 1. 値の列を書く
2. 2. 確率の列を書く
3. 3. 「値 × 確率」を計算して最後に全部足す

また、和や定数倍があるときは 線形性

を使うと、一気に計算が短くできる場面が多いです。

期待値の定義と基本公式（離散型）

期待値とは、「値 × その値が出る確率」をすべて足し合わせた重み付き平均です。結果の“起こりやすさ”を反映した平均というイメージを持つと、理解が安定します。

期待値の定義（離散型）

• 取りうる値（）
• その確率（）
• かけ算して全部足す

という形です。点数やサイコロのように離散的な場合は、この定義で求めます。

期待値の性質：線形性（便利なショートカット）

期待値には線形性があり、これはどんな状況でも必ず成り立ちます。独立かどうかに関係ない点がとても重要です。

• aX → “値が a 倍される”
• bY → “別の確率変数の期待値を足す”
• c → “常に c が足されるので、そのまま足すだけ”

分散の性質とは違うので、混同しないように注意しましょう。

期待値と平均（標本平均）の違い

期待値と平均は名前が似ているため、同じものだと誤解しがちです。しかし、期待値は「理論上の平均」、 平均（標本平均）は「実際のデータの平均」 というように役割がまったく異なります。

期待値：

• 確率モデル上の理論的な平均
• 「長く繰り返したときの平均値」を意味する

平均（標本平均）：

• 実際に集めたデータの平均
• 観測データの中心を表す値

→名前は似ていますが、目的が異なるため、テストでは必ず区別する必要があります。

連続型確率変数の期待値（密度関数を使う場合）

値が連続して変化する（例：身長、時間、距離など）の場合は、確率を「密度」で表すため、積分を使って期待値を求めます。

ここで、

• f(x)：その点での“確率の濃さ”（高さ）
• x × f(x)：その瞬間の“重み”
• それを面積として全体に積み上げる→期待値になる

と理解すると、計算の意味がつかみやすくなります。

期待値の練習問題

例題1：サイコロ1個の期待値

解法・解説

サイコロの目を確率変数 X とする（1〜6が各 ）

目 (x)	確率 (P)	(x × P)
1
2
3
4
5
6
合計	—

答え：E(X) = 3.5

「最頻値＝期待値」と混同しないようにしましょう。小数・分数はそのままでOKです（整数に直す必要はなし）。表の列順序は「値→確率→かけ算」の固定ルーティンにすると速くなります。

例題2：サイコロ2個の和の期待値

解法・解説

サイコロを2個投げ、出た目を X、Y とし，和を S = X + Y とします。

期待値は線形性をもち，独立でなくても

が成り立ちます。今回 a = b = 1、c = 0 であるから

全通り表を作らなくても解けるのがポイントです。

期待値を正確に求めるための計算アドバイス

期待値の計算は、手順を固定しておくとミスがほとんどなくなります。次の3つを意識すると安定して解けます。

解き始めに「値・確率・かけ算」の3列を欄外に必ず書く

どんな問題でも、この3列を先に作ってしまうと全体の見通しがよくなります。表を作るだけで「どの値に何の確率をかけるのか」が整理され、途中で迷わなくなります。

線形性が使えるときは、“分けて足す”で一気に短縮する

上記が使えると、複雑な問題でも期待値を分解して計算でき、表を作らずに1行で終わることもあります。特に和（X + Y）や定数倍（2X）が出た瞬間、「線形性は使えないか？」と考える癖をつけると計算が速くなります。

迷ったら“期待値＝理論上の平均、標本平均＝データの平均”を確認する

テストでは「期待値の式」と「データの平均」を取り違えるミスが多いです。

期待値は確率モデルの側（理論）、標本平均は観測データの側（実測）という関係を思い出すと、どちらを求めればよいか迷わなくなります。

まとめ｜期待値の公式・性質・平均との違いのポイント

ここまでの内容を振り返り、高校数学で押さえておくべき期待値のポイントを整理しましょう。

期待値の定義

• 期待値とは「値 × 確率」をすべて足し合わせた重み付き平均
• 定義：
• 標本平均（データの平均）とは目的が異なるので混同しない

計算の基本手順

• まず「値の列→確率の列→かけ算」の3列の表を作る
• 和や定数倍があるときは 線形性 E( aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c を使うと最短
• 全通り表は最後の手段。まずは線形性で分けて計算する

連続型の期待値

• 密度関数 f(x) のとき、
• f(x) は“高さ”、x f(x) を積み重ねた面積が期待値になるイメージ
• グラフの面積として理解するとつまずきにくい

期待値の定義や公式は覚えられても、

• 「“値×確率”を足す理由が納得できない」
• 「線形性の使い方が分からず、途中の計算がつながらない」
• 「表を作って解いたけれど、自分の計算が正しいか不安」

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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