場合の数の順列と組合せの見分け方とは？

よくある間違いと混乱ポイント

• どの法則（和か積）を使えばよいのか迷う
• との切り替えが苦手
• 「どちらか一方」「少なくとも一方」の日本語を取り違える など

こうしたミスは理由がはっきりしていて、順に整理すれば必ず克服できます。

順列・組合せ・和と積の法則を見分けるフローチャート

Step1：順序は区別する？

問題文の中で、“誰がどの役割に入るか／どの位置に座るか／並び方が違えば別扱いになるか”を必ず先にチェックします。

Yes→順列

例：席順、1位2位の決定、委員長と副委員長、A→Bの順で並べる、点数順の並べ替え など

No→組合せ

例：3人チームを選ぶ、メンバーを選抜する、男女混合の班を作る、くじで3名当選 など

Step2：事象は同時に起こり得る？

問題文に出てくる2つ以上の条件や選び方が、“同時に成立する場合があるかどうか” を判断します。

Yes→積の法則（×）

2つの選択を“同時に”行う場合、それぞれの通り数を掛けて全体を求めます。

例：

• 「Tシャツ3色 × 帽子2色」 → 3 × 2
• 「男子5人から1人選ぶ × 女子4人から1人選ぶ」
• 「赤玉かつ偶数の目」などの“両方が同時に成立する条件”
• 「上段にAまたはB、下段にCまたはDの配置を数える」

No→和の法則（＋）

どちらか一方しか起きない（排反）場合は、通り数を足します。

例：

• 「赤の玉または青の玉が当たる」
• 「雨の日はバス、晴れの日は自転車で通学」
• 「理系クラスか文系クラスを選ぶ」
• 「男子から1人選ぶまたは女子から1人選ぶ（同時には選ばない設定）」

Step3：言い回しチェック

問題文に出てくる表現が、 “同時に起こることを許しているのか／禁止しているのか” を必ず確認します。この判断によって 和の法則か、積・包含除外か が決まります。

「どちらか一方」は同時不可（排反）なので和の法則、「少なくとも一方」は同時可なので包含除外や余事象の対象になります。

詳しい違いは、「どちらか一方／少なくとも一方の見分け方」の章で整理します。

順列と組合せの違いと使い分け早見表

順列と組合せは、「順序を区別するかどうか」だけで明確に使い分けできます。実際の問題では、下の表と例を見れば一瞬で判定できます。

判断軸	順列	組合せ
順序	区別する	区別しない
例	席順, 配席, 並べ方	チーム選抜, くじ引き
検算	、	で 反対側を確認

「順序あり／なし」をその場で見抜く練習

順列か組合せかを素早く判定できるように、実際の設定を使って“順序あり／なし”を判別する練習を行います。問題文を読んだ直後に、どの公式を使うべきかを正しく見抜けているかを確認しましょう。

• 10人から委員長と副委員長を決める → 順列 （○）
• 10人から3人の委員を選ぶ（役職なし） → 組合せ （○）
• 6人を円卓に座らせる → 円順列 (6-1)!（順列の特殊形，○）

「どちらか一方」と「少なくとも一方」の違いと見分け方

ここまでは「順序あり／なし」と「同時に起こり得るか」で場合の数を分類してきました。
次に、その“同時可否”を判断するときに特に混乱しがちなケースについて整理します。

文章だけで判断しようとすると混乱しやすいため、集合図で覚えるのがおすすめです。

表現	同時発生	集合のイメージ	ひっかけ
どちらか一方	不可	(A ∪ B)-(A ∩ B)	A ∩ B を数えてしまう
少なくとも一方	可	A ∪ B（または余事象で処理）	A ∩ B を落とす

順列・組合せ・和と積の法則に関連した練習問題

ここまでで、順列と組合せ、和の法則・積の法則、そして日本語表現による判定方法まで整理してきました。

以下では、定期テストにそのまま出やすい典型的な3問を使って、最初の判定 → 式の立て方→ 検算という流れを実践的に練習していきます。

例題1：サイコロ2個で出る目の和が偶数または3の倍数は何通り？

最初の一手（判定）

「偶数」と「3の倍数」は同時に成り立つ場合があります。同時可の場合は、A＋B−A ∩ B の包含除外を使うので、まず

A＝偶数、B＝3の倍数 として、それぞれの通り数と重なりを数える方針を立てます。全体はサイコロ2個で 6×6＝36 通りです。

途中式（数え上げ）

和が偶数になるのは「偶数＋偶数」または「奇数＋奇数」のときで、合計18通りあります。和が3の倍数になるのは、和が3・6・9・12になる組で、数えると12通りです。

両方同時に成り立つのは「和が6の倍数」、つまり和=6（5通り）と和=12（1通り）の合計6通りです。

計算
18(偶数)＋12(3の倍数)−6(両方)＝24 通り。

答え
24 通り。

例題2：10人から3人委員を選ぶ。役職はなし。

最初の一手（判定）

役職がないので、誰を先に選んでも後で選んでも同じ扱いになります。したがって順序なし → 組合せ()を使うと判断します。

途中式

検算（ダブルチェック）

• 対称性：（選ぶ側と捨てる側が対）
• 段階分解：まず3人を順に選ぶ 10・9・8 → 選ぶ順序の重複 3! で割る → 120 で一致。

答え：120 通り。

例題3： 赤/青/緑の3色からどちらか一方のTシャツとどちらか一方の帽子を選ぶ。色が同じにならない選び方は？

最初の一手（判定）

• 2つの選択を同時に行う → 積の法則（かけ算）。
• ただし「同色禁止」の条件付きなので、全体 - 条件違反が速い。

途中式（2通りで確認）

• 方法（余事象）：
  
  • 全体：3 × 3 = 9
  • 同色（条件違反）：赤赤，青青，緑緑 → 3
  • よって 9 − 3 = 6

答え：6 通り。

テスト本番での時間管理と練習のコツ

• “判定→式→検算”を、1セット3分以内が目安となります。
• 判定は「順序 → 同時可否 → 言い回し」を口に出しながら確認すると安定します。
• 練習は、小問セット10問を毎日おこなうこと。
  特に の対称性／余事象／包含排除の3つは、ルーチン化が必須です。

まとめ｜場合の数の見分け方のポイント

ここまでの内容を振り返り、高校数学で押さえておくべき「順列・組合せ・和と積の法則」のポイントを整理しましょう。

判定の基本

順序を区別するかどうかで / を判断する

• 順列：順序を区別する（席順・配席など）
• 組合せ：順序を区別しない（選抜・チーム編成など）

事象が同時に起こり得るかで和/積の法則を判断する

• 同時不可 → 和の法則（+）
• 同時可 → 積の法則（×）

言い回しの注意点

「どちらか一方」＝同時不可（排反）

• (A ∪ B)-(A ∩ B)のイメージ
• A ∩ B を数えるミスに注意

「少なくとも一方」＝同時可

• A ∪ B または余事象で処理
• A ∩ B を落としやすいので要注意

なお、順列と組合せ、和の法則と積の法則の基本は学べても、

• 「どの法則を使えばよいかその場で判断できない」
• 「“どちらか一方 / 少なくとも一方”の日本語で混乱する」
• 「計算は合っている気がするけれど、途中の式が正しいか不安」

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