標準偏差と分散の違いとは？

計算の基本手順

平均 → 偏差 → 2乗 → 平均 → 。

この順で進めるとミスがかなり減ります。まずは分散と標準偏差の違いを、表で整理しましょう。

指標	定義のイメージ	単位	使いどころ
分散	偏差 を2乗して平均	元の単位の2乗	理論・証明で扱いやすい
標準偏差	分散に根号をつけた値	元の単位に戻る	ばらつきの大きさ比較がしやすい

標準偏差と分散の違いと使い分け方

• 分散
  平均からのズレの2 乗の平均
  単位は2 乗になる（cm²、点² など）
• 標準偏差
  分散の平方根
  単位が元に戻るので、数字の「大きい・小さい」をそのまま比べられる。
  
  分散と標準偏差の使い分けのポイント
  理論・証明や合成では分散が扱いやすい
  感覚的な“散らばりの大きさ”の比較や偏差値などでは標準偏差が便利。

標準偏差で（ルート）をとる理由

• 2 乗してしまうと「cm²」「点²」のように単位が変わってしまう
• √をとると元の単位（cm、点）に戻る
• 単位がそろうと、データの散らばり具合を比較しやすい（例：テストの点数のばらつきなど）

分散・標準偏差の計算が早くなる表テンプレート

ノートにこの表を作ると、計算がとても安定します。平均・偏差・偏差²の流れを1行ずつ整理できるので、途中の書き間違いや計算戻りが大幅に減るためです。

分散と標準偏差の計算手順

①平均→②偏差→③2 乗→④平均（＝分散）→⑤√（＝標準偏差）

• ショートカット式（定義同値）を使った分散の計算方法：
  =
  ※計算量が多いとき有効（電卓・表計算にも強い）

分散・標準偏差の性質について

• データをa倍すると
  分散は、a²倍、標準偏差は、|a|倍
• データにbを足すと
  分散も標準偏差も変わらない（散らばりは変化しない）
  
  使いどころ：単位換算（cm→m）や得点の線形変換で素早く答えに近づける。

分散と標準偏差に関連した練習問題

分散と標準偏差の理解を定着させるために、実際のデータを使って計算の流れを確認してみましょう。

例題では、小さなデータセットを用いて「平均 → 偏差 → 2 乗 → 分散 → 標準偏差」の手順を丁寧に追っていきます。

例題1（基本）：データ　3,5,7

＜手順＞

表に入れて順番に計算

分散→標準偏差 の流れでＯＫ

＜ポイント＞

を中間チェックに使う

例題2：データ　10,10,11,13

＜手順＞

で分散→√で標準偏差

＜ポイント＞

暗算が効く並びはショートカットが速い

例題3：x の各値に +5 したとき、分散と標準偏差はどうなる？

＜解＞

どちらも変化しません。すべてのデータに同じ値を足しても、「平均からのズレ（＝偏差）」の大きさはまったく変わらないためです。

• 偏差は、データ全体を同じだけ平行移動しても変化しない
• 偏差² も同じ値になります
• したがって、分散と標準偏差も不変

＜使い道＞

計算前にデータ全体を平均0に寄せるように調整（例：−平均 を足す）すると、偏差²の計算をシンプルにできます。これは分散の計算を速くする定番テクニックです。

例題4：データ全体を 2倍したとき、分散・標準偏差は？

＜解＞

• 分散は 4倍（=2²倍）
• 標準偏差は 2倍（＝|2|倍）

データを a 倍すると偏差も a 倍になり、偏差²は a² 倍になります。分散は偏差²の平均なので a² 倍。標準偏差はその平方根なので |a| 倍。

＜見抜き方＞

「2 乗 → a²倍、√ → |a|倍」という二段階で考えると、瞬時に判定できます。

分散・標準偏差でよくあるつまずきQ&A

Q1：なぜ“2 乗”するの？絶対値じゃダメ？

A：偏差の符号を消して平均化する必要があるため。絶対値平均（平均絶対偏差）も指標だが、理論的に扱いやすいのは2 乗（微分可能・合成に強い）。

Q2：分散と標準偏差、どっちを書けば高得点？

A：設問指定に従う。ばらつきの直感比較は標準偏差、式変形・証明は分散が使いやすい。

Q3：標本分散・不偏分散って必要？

A：高校の定期テストでは触れても最小限。統計的推測（母集団推定）では不偏分散が登場する、ということだけ押さえておけばよい。

Q4：ミスしやすいのはどこ？

A：下記のようなミスが発生しやすいので注意が必要です。

• 平均の計算ミス
• 2 乗し忘れ
• 最後の √ を忘れる
• n と (n - 1) の混同（大学範囲）

標準偏差・分散を正確に解くためのチェックリスト

□ 平均を最初に求めたか
□ 偏差 → 2 乗 → 平均 → √ の順序を正しく守っているか
□ ショートカット式を使った方が効率的か確認したか
□ 性質（a倍・+b） を使って計算を簡略化できないか
□ √のかけ忘れ がないか最終確認したか

分散・標準偏差の理解を深める演習プラン

• 毎回「3行 × 3列の固定表」を作る習慣をつけると、手順が自動化されて速くなる。
• 10分練習ルーチンとして、下記の手順で解く
  1分：表の枠だけ書く → 3分：平均と偏差を入れる → 3分：2 乗・合計 → 2分：分散・標準偏差 → 1分：チェックリスト。

まとめ｜標準偏差の意味・計算手順と活用のポイント

ここまでの内容を振り返り、標準偏差の意味と計算手順のポイントを整理しましょう。

• 標準偏差＝
  √の理由は単位合わせと直感性。
• 計算は 平均→偏差→2 乗→平均→√の順
  表を作るとミスが減る。
• 性質
  a倍→分散a²・標準偏差|a|
  +b → どちらも不変
• 基本の比較
  標準偏差が小さいほど安定
  平均が違うなら変動係数の視点も
• ミス対策
  ショートカット式の使い分け
  √のかけ忘れがないか必ず確認すること。

分散や標準偏差の定義・計算手順は理解していても、

• 「なぜ標準偏差では√をとるのか納得できない」
• 「2 乗する理由や単位の説明で論理が飛んで見える」
• 「練習問題を解いたものの、この計算で本当に合っているか不安」

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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