合成関数の微分ってどうやるの？

合成関数の微分の手順と考え方

合成関数の微分は、見た目が少し複雑に感じますが、外側→内側→最後に g'(x) の順番さえつかめばスムーズに解けるようになります。まずは「どこが外側で、どこが内側なのか」を整理し、基本の流れをつかむことが最初の一歩です。

ここでは、判断のコツと計算の進め方をまとめました。

合成関数かどうかを判定する4ステップ

1. 1. 外側の“型”を決める（べき／逆数／根号／指数／対数／三角／絶対値など）
2. 2. 中身＝内側 g(x) を特定する
3. 3. 外側を微分し、中身はそのまま残し、最後に g'(x) を掛ける
4. 4. 数値代入や符号の感覚で軽く検算する

ひと目でわかる“合成関数の微分パターン早見表”

外側の型	例	微分パターン
べき
逆数
根号
指数
対数
三角
絶対値

置き換え法と直差しの使い分け方

合成関数の微分には、置き換え法（安全）と直差し（高速）の2種類があります。

迷ったら「置き換え法」

u = g(x) と置いて

1. 1. まず f(u) を微分する
2. 2. 最後に u'= g'(x) を掛ける

という手順です。たとえば、 のように

• 根号（）
• 対数（log）
• 絶対値（│ │）
• 複雑な積・商

が出てくる式では、置き換え法のほうが道筋がはっきりしてミスが減ります。

途中で u を g(x) に戻す ことさえ忘れなければ、減点されにくい方法です。

外側の型がすぐにわかるときは「直差し」

たとえば (x² + 1)³ のように

外側の型（べき・指数・逆数など）が一目で決まる式は、

1. 1. 外側を微分する
2. 2. 中身 g(x) はそのまま残す
3. 3. 最後に g′(x) を掛ける

だけで一気に終わります。計算量が少なく、試験時間の節約になります。

使い分けの目安

計算が重い／記号が多い／場合分けが必要（絶対値・分母の符号など）

　→ 置き換え法で安全に進める

単純な一回合成で、外側の型がすぐ決まる

　→ 直差しで時短する

どちらの場合も共通の注意点は「最後に g′(x) を必ず掛ける」ことです。声に出して確認すると、典型的なミスを大きく減らせます。

合成関数の微分の練習問題

問題1：(x² + 1)³を微分せよ

解答・解説

合成関数の微分では、外側 → 中身そのまま → 最後に内側の微分という順番がとても重要です。まず ( )³ の形（外側） を微分して 3( )² を作ります。
外側：( ⋅ )³　内側：x² + 1

直差し：3(x² + 1)² × 2x = 6x(x² + 1)²

置き換え：u = x² + 1 ⇒ (u³)' = 3u² u' = 3(x² + 1)² 2x = 6x(x² + 1)²

最後に、内側の微分である 2x を必ず掛けます。多くのミスはこの「内側の微分の掛け忘れ」です。

問題2：を微分せよ

解答・解説

は「根号が外側、中身が 1 − x² 」の合成関数として扱います
外側：　内側：1 -x²

外側の は微分するとになるので、中身をそのまま戻します。
直差し：

置き換え：

最後に内側の微分 −2x を必ず掛け、にまとめれば完成です。

問題3：を微分せよ

解答・解説

今回は内側がそのまま「sin x」なので、とてもシンプルな合成関数です。

外側： 内側：sin x

直差し：

置き換え：

底が e の指数関数の微分は 外側をそのまま残し、内側の微分を掛けるだけです。

勉強の進め方と練習方法のアドバイス

• テストが始まったら、最初の30秒で余白に「合成関数の微分パターン早見表」を書きます。
• べき・逆数・根号・指数・対数・三角・絶対値の7つの外側パターンを、短くメモしておきます。
• 「外側を微分→中身はそのまま→最後に g'(x)を掛ける」という流れを1回書いて、手を慣らしておきます。

練習は、たとえば「入門問題2題→標準問題3題→実戦問題2題→仕上げの小テスト10問」といった順で進めると、理解が深まるはずです。

間違えた問題は、原因別に整理します（掛け忘れ／外側の取り違え／場合分けの漏れなど）。翌日に同じタイプの問題を1問だけ解き直すことで、ミスの再発を防げます。

合成関数の微分と関連するその他の重要知識

合成関数の微分ができるようになると、微分の世界が一気に広がります。ここでは、次のステップとして押さえておきたい重要な知識を確認していきましょう。

• まずは、指数・対数・三角関数の基本的な微分公式を確認しましょう。
• 慣れてきたら、対数微分法や積・商の微分と組み合わせる問題に挑戦します。
• 余裕があれば、微分の定義から導く短い証明を一度読んでおくと、理解の土台が強まり計算の不安が減ります。

まとめ｜合成関数の微分のポイント

ここまでの内容を振り返り、押さえておくべき合成関数の微分のポイントを整理しましょう。合成関数の微分は、見た目が複雑でも 「型」で考えれば一気に簡単になります。

まず、与えられた式の

• どこが外側か
• どこが内側か

をはっきり区別し、外側を微分→中身そのまま→ g'(x) を掛けるという基本手順を固めることが第一歩です。

外側の型は7パターンだけなので、最初にこの形を覚えておくと、問題を見た瞬間に「どの公式を使えばいいか」が判断できるようになります。

• 難しい形に出会ったら置き換え法
• 単純な形なら直差しの連鎖律、

というように使い分けることで、ミスも減り、計算スピードも上がります。

合成関数の微分をマスターして、微分計算を得意にしよう！

合成関数の微分の理解は、高校数学の中でもつまずきやすい重要テーマです。しかし、

• 「外側と内側の見分け方があいまいで手が止まる」
• 「g'(x) を掛け忘れて減点される」
• 「置き換え法と直差しのどちらを使えばいいか判断できない」

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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