数列の公式をまとめて知りたい

数列の重要公式一覧

まずは数列の重要公式を一覧で確認しましょう。

数列の種類	公式
等差数列 （一般項）
等差数列 （初項から n 項の和）
等比数列 （一般項）
等比数列 （初項から n 項の和）
階差数列 （一般項）
累乗の和

（数列の重要公式一覧）

使い分けのポイント

数列とは？基本概念の確認

数列の定義と記号

数列とは、自然数に対して決まった規則に従って数を対応させたもので、のように表記します。ここで、n は項の番号、は数列の一般項（n番目の項）、は数列全体を表します。

例えば、という数列は = 2n と表現することができます。

数列を理解するためには、まずこの表記方法になれることが重要です。

一般項と漸化式

数列を定義するには、主に一般項と漸化式の2種類の方法があります。

一般項

一般項とは、第n項を直接nの式で表したものです。

例えば、 = 3n + 1 や などがあります。

漸化式

漸化式とは、前の項との関係で定義したものです。

例えば、 などがあります。

漸化式から一般項を求めることは数列の重要なテーマの一つです。多くの場合、規則性を見つけて一般項の形に変形します。

等差数列の公式

等差数列の一般項

等差数列は隣り合う項の差が一定の数列で、その差を公差（一般的に d で表す）と呼びます。このとき、一般項は

と表すことができます。これは、初項 に、dをn-1回足すとn番目の項になることを示しています。

例えば、初項3、公差2の等差数列の場合は

のように一般項を考えることができます。

等差数列の和の公式

等差数列の初項から第n項までの和には、2つの表現があります。

使い分けのポイント

等比数列の公式

等比数列の一般項

等比数列は隣り合う項の比が一定の数列で、その差を公比（一般的にrで表す）と呼びます。このとき、一般項は

と表すことができます。これは、初項に、rをn - 1回かけるとn番目の項になることを示しています。

例えば、初項2、公比3の等比数列の場合は

のように一般項を考えることができます。

等比数列の和の公式

等比数列の初項から第n項までの和は、公比rの値によって、場合わけが必要になります。

特に、r = 1 のときは、全ての項が等しく初項と同じになるので、 になります。また、r < 0 のときは、項の符号が交互に変わることも確認しておきましょう。

無限等比級数（数学III）

※このセクションの内容は数学IIIで学習します。

初項を、公比をr とする等比数列に対して、この無限に続く和を無限等比級数といいます。

この無限等比級数が収束するのは、|r| < 1のときに限り、|r| > 1で発散します。

その他の重要な数列公式

階差数列

階差数列では、 の形に分解して計算することがポイントである。このように変形することができれば、

のように計算することができる。

累乗の和の公式

シグマ記号を使った和の計算でよく使う基本公式をまとめます。

これらの公式は暗記必須です。特に最初の2つは入試頻出なので、導出過程も理解しておくと応用が利きます。

部分分数分解

分数の形をした数列の和を求める際に使う重要なテクニックです。

はであることを利用して

のように計算できます。

数列公式の使い分け

問題を見たときにどの公式を使うべきかを判断するフローチャートを示します。

判断基準のステップ

1. 1. 数列の性質を見抜く
   
   • 隣り合う項の差を確認→一定なら等差数列
   • 隣り合う項の比を確認→一定なら等比数列
   • どちらでもない→階差数列や漸化式を検討
2. 2. 求めるものを明確にする
   
   • 特定の項→一般項の公式
   • 複数項の和→和の公式
   • 無限の和→収束条件を確認
3. 3. 与えられた条件を整理する
   
   • 初項と公差/公比→直接公式適用
   • 特定の項の値→逆算で初項や公差を求める
   • 漸化式→一般項を導出してから公式適用

よくある間違いパターン：

まとめ｜数列の重要公式と使い分けのポイント

数列は「一般項」と「和」を軸に整理
→ まず 等差か等比か を判定。つぎに「求めたいのは 特定の項 か 和 か」を決める。

等差数列（差が一定）
→ 一般項：初項＋(項数−1)× 公差。
→ 和：①「初項と末項で」計算／②「初項と公差で」計算の2型を使い分け。

等比数列（比が一定）
→ 一般項：初項 × 公比^n-1。
→ 和：等比数列の和の公式を使用（公比≠1）。
→ 無限和：|公比| < 1 のときのみ収束。

その他の必修テク
→ 階差数列（差を並べて“消える和”にする）、累乗の和（基本の和・平方和・立方和）、部分分数分解（分数型の和をばらす）。

使い分けの合図（フローチャートの要点）
→ 差が一定＝等差／比が一定＝等比／どちらでもない＝階差や漸化式を検討。
→ 条件が「初項＋公差/公比」か「初項＋末項」かで式を選ぶ。

ただ実際の学習では、

• 等比で 公比=1 の場合分けを忘れる
• 無限等比級数で 収束条件 |公比|＜1 を確認しない
• 等差の和で「初項・末項・項数」の取り違え
• 階差数列で 第1項の扱い を落とす

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

AI質問の特徴

問題を撮影するだけ！
勉強中にわからない数学の問題を撮影すると、すぐにヒントや解き方を丁寧に解説してくれます。

考え方や途中過程まで、ステップごとに解説
答えだけでなく、解答に至るまでのステップをわかりやすく提示。追加解説まで丁寧に説明してくれます。

AI質問機能を活用することで、定期テストや入試の対策に向けて、理解の“穴”をすぐに埋めることに役立ちます。「進研ゼミ」は以下より無料で体験いただけます（スマートフォン／タブレットからアプリをダウンロード）。