2倍角の公式ってどう使うの？

2倍角の公式3種類を確認しよう

まずは、2倍角の公式の全体像を把握しましょう。sin、cos、tanそれぞれに対応する公式があります。

このように3種類の公式が存在します。

2倍角の公式とは？

2倍角の公式の定義

2倍角の公式とは、角 2θの三角関数を角θの三角関数で表す公式です。これにより、2倍の角度を持つ三角関数を、より基本的な角度の三角関数の組み合わせで計算できます。

2倍角の公式を学習することにより、複雑な角度の計算が簡単になったり、微積分や物理学に応用ができたりします。

加法定理との関係

2倍角の公式は、加法定理から導出することができます。加法定理を思い出してみましょう。

この加法定理でα = β = θとすると、自然に2倍角の公式が導かれます。

この関係を理解することで、2倍角の公式が「新しく覚えなければならない独立した公式」ではなく、既に学んだ加法定理の応用であることが分かります。

公式の導出（なぜそうなる？）

加法定理からの導出

2倍角の公式がなぜ成り立つのか、加法定理から丁寧に導出してみましょう。

sin2θの導出

cos2θの導出

tan2θの導出

このように、3つの公式すべてが加法定理から自然に導かれることが分かります。

導出過程を理解することで、公式を機械的に暗記するのではなく、理論的背景とともに理解できます。

公式の使い方（基本〜応用）

基本例題の確認

まずは基本的な計算例で公式の使い方を確認しましょう。

sin θθのときのsin2θ, cos2θ, tan2θを求めなさい。

このとき、三角比の相互関係から

ここから、2倍角の公式より

のように、求めることができます。

cosの2倍角公式の3つの形

cosの2倍角公式には、3つの等価な表現があります。

基本形

cos形

sin形

これらを使い分けることで、様々な問題に対応できます。

特に、与えられた式をcosだけの式で表したいときは、cos形、与えられた式をsinだけの式で表したいときは、sin形を使うことがポイントです。

応用1 三角方程式への活用

2倍角を含む三角方程式は、公式を使って基本的な形に変形することで解けます。

θであるとき、次の三角方程式を求めましょう。

2倍角の公式より

これより元の式は

θより

と求めることができます。三角方程式を解く際は、同じ三角比（今回の問題だとcosθ）で表して考えることがポイントになります。ここでは、2倍角の公式を利用することで、うまく式変形できます。

応用2 半角の公式

とを利用して変形すると

これらは半角の公式として知られ、積分計算で重要な役割を果たします。

応用3 積分計算での活用

半角の公式は、特に2乗を含む積分で威力を発揮します。

次の式を計算しましょう。

半角の公式より

となることより、元の式は

と変形することができます。この積分を計算しましょう。

まとめ｜2倍角の公式の意味と大事なポイント

2倍角の公式は「角2θを角θで表す」公式
→ sin, cos, tan それぞれに対応する形があり、加法定理の応用で導ける。

cosの公式は3パターンある
→基本形・ cos²形・sin²形を状況に応じて使い分けると便利。

使いどころは幅広い
→ 三角比の計算、三角方程式の変形、半角の公式の導出、積分計算など。
→ 特に「2乗を含む式を1次に直す」ときに威力を発揮する。

よくあるつまずきポイント
→ 符号を取り違える（cosの展開でマイナスを忘れるなど）
→ どの形を使うか迷って計算が長くなる
→ 公式を丸暗記して応用できない

定着のコツ
→ 「加法定理から導ける」と理解して覚える
→ cosの3つの形を整理し、問題に応じて選ぶ練習を重ねる

ただ実際の学習では、

• どの形の公式を使えばよいか迷う
• 三角方程式で変形が思いつかない
• 積分の途中で2倍角に変え忘れる

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