球の体積ってどうやって求めるの？

球の体積の公式を確認しよう

球の体積を求める基本公式は以下の通りです。

このときVは球の体積、rは球の半径です。体積は半径の3乗に比例するため、半径が2倍になると体積は8倍になり、単位は長さの3乗（cm³, m³）になります。
また、直径dがわかっているときの球の体積の公式は

と表されます。それでは、具体的な数値を用いて公式の使い方を確認してみましょう。

具体的に考えてみよう

これは、半径3cmの球です。この球の体積は

となります。

練習してみよう
(1) 半径6cmの球の体積を求めなさい。
(2) 直径9cmの球の体積を求めなさい。

《解答》

(1)

(2)

球とは？

球の定義

球とは、空間内の1点（中心）から等しい距離にあるすべての点の集合です。この「等しい距離」を半径と呼びます。

数学的には、中心を原点(0,0,0)する半径rの球面の方程式は

と表すことができます。

球は完全に対称な立体であり、どの方向から見ても円に見えるという特徴があります。この対称性が、球の体積公式の美しさの源でもあります。

球に関する基本用語

球を扱う際の重要な用語を整理しましょう。

中心：球の中央の点
半径：中心から球面上の任意の点までの距離
直径：中心を通る球面上の2点間の距離（半径の2倍）
球面：球の表面
球体：球面とその内部を含む立体全体

公式の導出

積分による導出

※このセクションの内容は数学IIIで学習します。

球の体積公式がなぜになるのか、積分を使って導出してみましょう。

xy平面上で原点を中心とした半径rの円Cをx軸の周りに回転させた立体が半径rの球です。

Cの境界の上半分は

と表されます。よって球の体積は

このように体積の公式を積分により導出することができます。

公式の使い方

基本例題の確認

球の体積は、円周率πを含む式を用いるため厳密値と近似値が存在します。

厳密値は、円周率をπのまま計算するため正確な値になります。近似値は、円周率を3.14や3.1415などの具体的な数値に置き換えて計算した値です。

具体的に考えてみよう
半径3cmの円の体積の厳密値を求めましょう。

ここでπ = 3.14としたときの体積の近似値を求めましょう。

練習してみよう
(1) 半径6cmの球の体積の近似値を求めなさい。ただし、π = 3.14とします。
(2) 半径2cmの球の体積の厳密値を求めなさい。

《解答》

(1)

(2)

応用1　直径から体積を求める

直径から球の体積を求める公式は1で紹介しましたが、その公式の導出を考えてみましょう。球の直径dをとすると

と表されます。これを半径を用いた球の体積の公式に代入すると

となります。ただし、直径が与えられた場合は、まずそこから半径を求めればの公式を使うことで計算できるので、この公式は覚えておかなくても大丈夫です。

練習してみよう
(1) 半径6cmの球の体積を求めなさい。
(2) 直径2cmの球の体積を求めなさい。

《解答》

(1)

(2)

応用2　体積から半径を求める

球の体積の値が与えられたとき、半径は

の式に体積の値を代入することで求めることができます。

具体的に考えてみよう

球の体積が36πのときの半径rを求めましょう。まずは、この体積をの式に代入します。

半径rは、0より大きい実数なので、これを解くと

となります。の式をrについての式に直すと

と表されます。つまり、体積が与えられたときは、この式に与えられた体積をVに代入することで半径を求めることができます。

応用3　球の一部の体積

球を1つの平面で切った立体を球欠、球欠の側面部分を球冠といいます。
また、球を2つの平行な平面で切った立体を球台、球台の側面部分を球帯といいます。

球欠と球台の体積は、底面の半径、天面の半径、高さとすると

（球欠の場合はとなる）

と表されます。

具体的に考えてみよう
半径3cmの球について、高さ2cmの球欠の体積を求めなさい。

まとめ｜球の体積の意味と大事なポイント

球の体積は「半径の3乗に比例する立体の大きさ」
→ 基本公式は「半径を3乗して定数を掛ける形」。直径から求める場合も同じ考え方で導ける。

直感的に押さえるべきこと
→ 半径が2倍になると体積は8倍になる。体積の単位は立方センチメートルや立方メートル。

導出の考え方も知っておくと強い
→ 積分で厳密に示せるほか、円を回転させるイメージや幾何的な直感でも理解できる。

活用場面は幅広い
→ ボールや地球の体積を求める実生活的な応用から、工学・物理学の計算まで必須。
→ 球欠や球台など「一部の体積」を求める応用問題にも発展する。

ただ実際の学習では、

• 半径と直径を混同してしまう
• 厳密値（πのまま）と近似値（3.14などを代入）の区別を誤る
• 「体積から半径を逆算する」式変形でつまずく

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