最小公倍数ってどうやって求めるの？

最小公倍数の定義と意味

「最小公倍数ってどういう数？」と疑問に思う人は多いですね。
まずは用語を整理しましょう。

• 倍数：ある整数を整数倍した数のこと。例：6の倍数は 6, 12, 18, 24, …
• 公倍数：2つ以上の整数に共通する倍数のこと。例：6と8の公倍数は 24, 48, 72, …

そして、最小公倍数（LCM）とは、これらの公倍数のうち「最も小さい正の整数」です。

例として「6と8」の場合を見てみましょう。

数	倍数
6の倍数	6, 12, 18, 24, 30, 36, …
8の倍数	8, 16, 24, 32, 40, …

両方に共通する最小の数が 24 です。これが「6と8の最小公倍数」となります。

ここでよく混同されるのが 最大公約数（GCD） です。最大公約数は「両方の数を割り切る最大の数」、最小公倍数は「両方の数で割り切れる最小の数」で、対になる概念です。

• 6と8の最大公約数：2
• 6と8の最小公倍数：24

この2つをペアで押さえておくと、理解がぐっと深まりますよ。

最小公倍数を求める方法は、大きく3通りあります。
「倍数を書き出す方法」「連除法（はしご算）を使う方法」「素因数分解を使う方法」です。

小さい数のときは倍数を書き出す方法が便利で、複数の数や入試問題では連除法や素因数分解を使うと効率的です。状況に応じて最適な方法を選べるようにしておきましょう。

最小公倍数の求め方

1. 倍数を書き出して最小公倍数を求める

もっとも基本的な方法は、倍数を順に書き出して共通部分を探すやり方です。

例題：6と8の最小公倍数

• 6の倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, …
• 8の倍数：8, 16, 24, 32, 40, …

両方に共通して現れる最小の数が 24 です。

ポイント

よくある誤答

「途中で止めて、24より大きな共通倍数を選んでしまう」ケースがあります。
必ず最小の共通倍数を見つけることが大事です。

2. 連除法（はしご算）を使って最小公倍数を求める

連除法（はしご算）は、複数の数を同時に割っていき、最小公倍数を求める方法です。特に3つ以上の整数の最小公倍数を効率よく計算したいときに便利です。

例題：12, 18, 30の最小公倍数を求めよう

1. 数を横に並べて書き、左に小さい素数から割っていきます。

左の縦の数（2,3）は、すべての数を割ることができる公約数の部分であり、これらを掛け合わせると最大公約数（GCD）になります。

一方、下の横の数（2,3,5）は、それぞれの数を割り切るために必要な最小公倍数（LCM）を作る要素です。

つまり、縦は「共通する部分（GCD）」、横は「すべてを含む部分（LCM）」を表しています。

2. 左に書いた「2, 3, 2, 3, 5」をすべて掛け合わせます。

2×3×2×3×5=180

したがって、最小公倍数は180 です。

ポイント

よくある間違い

• 途中で割り切れない数が出たときに、計算を止めてしまう。
• 右に書いた数を掛け忘れてしまう。

これらを避けるには、「必ず最後まで割り切って1にする」ことを意識しましょう。

3. 素因数分解を使って最小公倍数を求める

素因数分解を使う方法は、数学Aで学習する内容と直結しており、理論的で確実な方法です。

例題：12と18の最小公倍数を求めよう

1. それぞれの数を素因数分解する。

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²

2. 各素因数について「指数の大きい方」をとる。

• 2については 2² をとる。
• 3については 3² をとる。

3. それらを掛け合わせる。

2² × 3² = 4 × 9 = 36

したがって、最小公倍数は36です。

ポイント

よくある間違い

• 指数の小さい方をとってしまう。
  例：上の例で「2×3=6」としてしまう誤答。
• 素因数分解のミス（特に大きな数で割り算を飛ばす）に注意。

最大公約数との関係

2つの整数 a,bについては、次の関係式が成り立ちます：

a × b = 最大公約数 × 最小公倍数

この公式を覚えておくと、片方を素早く求められる場面も多いです。

基本問題で最小公倍数の求め方を確認しよう

ここまでで、最小公倍数を求める3つの方法を学びました。
次は実際に例題を解いてみましょう。基本的な問題を通して、手順をしっかり定着させることが大切です。

例題1｜2つの数の最小公倍数

問題
12と18の最小公倍数を求めよ。

解答

1. 1. 素因数分解する。
   12 = 2² × 3
   18 = 2 × 3²
2. 2. 指数の大きい方をとる。
   2については2²
   3については3²
3. 3. 掛け合わせる。
   2² × 3² = 36

したがって、最小公倍数は36。

例題2｜3つの数の最小公倍数

問題
8, 12, 20の最小公倍数を求めよ。

解答

1. 1. それぞれを素因数分解する。
   8 = 2³
   12 = 2² × 3
   20 = 2² × 5
2. 2. 指数の大きい方をとる。
   2については2³
   3については3
   5については5
3. 3. 掛け合わせる。
   2³ × 3 × 5 = 120

したがって、最小公倍数は120。

ポイント

応用・入試レベルの最小公倍数の問題に挑戦

基本問題ができるようになったら、模試や入試でよく出る応用問題にも挑戦してみましょう。
大きな数や文章題では、最小公倍数を素早く正しく求められる力が大切です。

例題3｜大きな数の最小公倍数

問題
100と120の最小公倍数を求めよ。

解答

1. 1. 素因数分解する。
   100 = 2² × 5²
   120 = 2³ × 3 × 5
2. 2. 指数の大きい方をとる。
   2については 2³
   3については 3
   5については 5²
3. 3. 掛け合わせる。
   2³ × 3 × 5² = 600

したがって、最小公倍数は600。

例題4｜仕事算と最小公倍数

問題
Aさんは3日ごと、Bさんは4日ごとに同じ作業をします。2人が同じ日に作業するのは何日ごとですか？

解答

• Aは3の倍数の日に作業、Bは4の倍数の日に作業。
• 3と4の最小公倍数は12。
• よって、12日ごとに2人が同じ日に作業する。

例題5｜最大公約数との関係を利用する問題

問題
2つの整数の積が 180 で、最大公約数が 6 のとき、最小公倍数を求めよ。

解答
2つの整数a,bの最大公約数と最小公倍数には次の関係式があります：

a × b = 最大公約数 × 最小公倍数

ここで、

180 = 6 × 最小公倍数

したがって、最小公倍数は30。

ポイント

最小公倍数で間違えやすいポイントと対策

最小公倍数は一見シンプルですが、テストや入試でよくある間違いも多い分野です。
ここでは、典型的な誤答例とその対策を整理しておきましょう。

最大公約数と混同してしまう

誤答例
「12と18の最小公倍数を求めよ」と問われて、最大公約数の6を答えてしまう。

対策

• 「公倍数はかけ算で広がる、約数は割り算で小さくなる」というイメージを持つ。
• 問題文に「最小公倍数」か「最大公約数」かが書かれているので、キーワードを見落とさない。

倍数の書き出し不足で誤答する

誤答例
「8と12の最小公倍数」を求めるとき、

• 8の倍数：8, 16, 24, 32
• 12の倍数：12, 24, 36
  を途中までしか書かず、24を見落とす。

対策

• 必ず「両方に共通する最小の数」を確認する。
• 書き出すときは5つ以上は並べてみること。

素因数分解で指数を小さい方にしてしまう

誤答例

12 = 2² × 3,18 = 2 × 3² から、指数の小さい方をとって

2 × 3 = 6 と答えてしまう。

対策

• 最小公倍数では「指数の大きい方をとる」ルールを必ず意識する。
• 最大公約数との違い（小さい方をとるのがGCD、大きい方をとるのがLCM）を対比させて覚える。

まとめポイント

まとめ｜最小公倍数の意味と大事なポイント

最小公倍数は「2つ以上の整数に共通する倍数のうち、最も小さい数」
→ 最大公約数と対になる重要な概念。

求め方は3種類
→ 倍数を書き出す／連除法（はしご算）／素因数分解。状況に応じて使い分ける。

最大公約数との関係が便利
→ 2つの数の積は「最大公約数 × 最小公倍数」で表せる。逆算問題でも活用できる。

応用範囲が広い
→ 繰り返しの周期を求める仕事算や、入試の整数問題で頻出。

ただ実際の学習では、

• 最大公約数と混同してしまう
• 倍数の書き出しが不十分で見落とす
• 素因数分解で指数を小さい方にしてしまう

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