メネラウスの定理とは？証明・覚え方・チェバの定理との違いも知りたい

メネラウスの定理とは？覚え方も解説

メネラウスの定理

三角形ABCがあり、辺やその延長線と交わる点D・E・Fを考えます。
このとき、次の関係式が必ず成り立ちます。

メネラウスの定理は「交点の比を求める問題」「証明問題で相似を使わず比の積で処理したいとき」「定期テストや大学入試の幾何の典型問題」など様々な場面で活躍できる公式です。

メネラウスの定理の証明

1. 前提を整理する

直線が三角形の辺（または延長）と交わり、各交点をD、E、Fとします。

図にすると次のような形になります。

2. 線分の比をとるための補助線

点CからFEに平行な直線を引き、辺ABとの交点Pをとります。

平行線と線分の比より、

となります。
各比の値を考えると

3. 比の値から等式を導く

ポイント整理

図解による覚え方

点Aから頂点→分点→頂点→分点→・・・とたどるようにすると覚えやすいです。

ここまでで「なぜこの公式が成り立つのか」が明らかになりました。次のステップでは、例題を実際に解いてみて、使い方をマスターしましょう。

メネラウスの定理が題材の問題

例題1

三角形ABCにおいて、辺AB上の点F、辺BC上の点D、辺CA上の点Eが与えられ、その3点が1直線上にあるとき

の値を求めなさい。

解答

メネラウスの定理より

メネラウスの定理を適用するだけの問題です。

例題2

解答

メネラウスの定理より

を代入

よって

チェバの定理との比較

メネラウスの定理とチェバの定理では直線の通り方が決定的に違います。2つとも「比の積が1になる」という形をしていますが、扱う状況がまったく異なります。

よくある疑問と解説

Q1：「メネラウスの定理はどのような場面で使うの？」

A1：三角形を直線が横切っていて「辺の比」を求める場面で使います。

• 相似を使わずに一気に比の関係を処理したいときに便利です。
• 定期テストでは「比を計算で処理する」練習問題に出やすく、入試では「補助線なしで比を求める応用」にも活用されます。

Q2：証明の過程で難しい部分は？

A2：補助線の引き方と比の値の整理です。

• 平行線と線分の比（三角形の相似）を用いるために平行線を引きます。

まとめ｜メネラウスの定理の意味と大事なポイント

メネラウスの定理は「三角形を横切る直線と交点の比の関係」を表す定理
→ 三角形と直線が絡む典型問題で必ず登場。

比の積が1になる
→の形で整理する。

証明のカギは補助線
→ 頂点から平行線を引いて比をつくり、等式を導く。

覚え方のコツ
→ 「頂点→分点→頂点→分点…」と順にたどるとパターンが見やすい。

チェバの定理との違いを押さえる
→ メネラウスは直線が三角形を横切る場合、チェバは頂点から対辺へ線を引く場合。

ただ実際の学習では、

• 公式の形は知っていても「どの場面で使うのか」で迷う
• 補助線の引き方が思いつかず、証明で止まる
• チェバの定理と混同してしまう

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）

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