素因数分解のやり方やコツは？

なぜ素因数分解が重要なのか？

素因数分解はただの計算テクニックではなく、整数の性質を理解する出発点です。定期テストから入試まで、幅広い場面で活用されます。

① 公約数・公倍数を求めるときに必須

最大公約数（GCD）や最小公倍数（LCM）を出すとき、素因数分解は最も効率的な方法です。例えば「GCD(84, 210)」を求める場合：

→ 共通部分（）を取れば GCD = 42。このように指数の大小を比べるだけで、公約数・公倍数が一瞬で分かります。

② 数の性質を調べる出発点

素因数分解を行うと、その数の「内部構造」が明らかになり、さまざまな性質を一瞬で判断できます。

• 平方数・立方数の判定：指数がすべて偶数なら平方数、すべて3の倍数なら立方数。
  例：72 = 2³ × 3²
  → 指数に奇数が含まれるため平方数ではない。
• 約数の個数や和の計算：素因数分解を使えば、整数問題や入試で頻出の「約数の個数」「約数の和」を公式的に処理できる。
• 整除性や証明問題：ある整数がnで割り切れるかどうかの判定や、背理法を使う証明でも素因数分解が土台になる。

このように、素因数分解は「偶数・奇数」の判別だけでなく、高校数学で扱う整数問題全般の出発点となります。

③ 入試の整数問題に直結

入試の整数問題では、次のような形式が頻出です。

• 整除の条件：「nが素数pで割り切れることを示せ」
• 約数関連：「nの約数の個数を求めよ」「nの約数の和を求めよ」
• 倍数・性質：「ある数列の項がmの倍数になる条件を求めよ」

これらはいずれも 素因数分解を出発点 にしなければ解けません。基礎が曖昧だと、応用問題で必ずつまずきます。

たとえば「nの約数の個数を求めよ」という典型問題は、

と素因数分解できれば、約数の個数は以下のように、一瞬にして計算できます。

④ 数学の「唯一分解定理」としての意義

素因数分解には「自然数はただ1通りにしか素因数分解できない」という重要な性質があります。これを 素因数分解の一意性 と呼びます。

この性質があるからこそ、

• 最大公約数・最小公倍数の計算が正しくできる
• 約数の個数や和の公式が成り立つ
• 整数問題の証明に安心して使える

つまり、高校数学で扱う整数分野の基盤はすべて、「唯一分解定理」に支えられています。

素因数分解の基本的な方法

素因数分解を正しく行うには、小さい素数から順に試す・割れる限り続ける・指数でまとめるの3ステップが基本です。この流れを習慣化すれば、どんな整数でも迷わず分解できます。

1. 小さい素数から割る

自然数を素因数分解するときは、まず 小さい素数（2, 3, 5, 7, 11 …） から順に割り算を試みます。素数は無限に続きますが、実際にはまでを調べられれば十分 です。

例：360 の平方根は約 18.9 → 19 以下の素数を確認すればよい。
→ これは「もしnが合成数なら、必ず以下の因数を持つ」という整数の基本性質に基づいています。さらに、2や5には判定の近道があります。

• 2で割れるか：偶数なら必ず割れる
• 5で割れるか：末尾が0か5なら割れる

こうした「整除判定」を組み合わせると、効率よく分解できます。

2. 割り切れる限り続ける

1回割って終わるのではなく、割れる限り繰り返すのが鉄則です。

例：360 ÷ 2 = 180 ,180÷ 2 = 90,90 ÷ 2 = 45 →360= 2³ × 45 まで進む

こうすることで指数が自然に現れ、正しい分解が保証されます。

3. 指数を使った表記

素因数分解の結果は、指数を使って整理します。

指数表記にすると 数の構造が一目で分かる だけでなく、

• 約数の個数公式
• 約数の和の公式
• 整数問題の証明

といった高校数学で頻出のテーマにそのままつながります。

例題

実際の問題で手を動かすと、素因数分解の手順や使い道が自然と身につきます。定期テストや入試に出る典型パターンで練習しましょう。

例題：60を素因数分解せよ

解説：

• 素因数分解の基本手順を確認する例
• 割れる素数を小さい順に試し、割れる限り続ける
• 最後は 指数を使った表記にまとめることで、後の約数公式や性質の判定に使いやすくなる

例題2：120の約数の個数を求めよ

解説：

• 素因数分解を「約数の個数公式」につなげる典型例
• 指数に1を足して掛け合わせるだけで答えが出せる
• 計算作業を効率化できるので、定期テストや入試の整数問題で頻出

例題3（平方数の判定）：900は平方数かどうか判定せよ

解説

• 素因数分解すると、すべての指数が偶数
• よって 900は平方数
• 高校数学の整数問題では「平方数かどうか」を判定する問題がよく出る

例題4：2310が11で割り切れるかどうか判定せよ

解説

• 素因数分解の結果に「11」が含まれている → 割り切れる
• 「ある整数が特定の素数で割り切れるか」を証明する際の基本的アプローチ

例題5：2520の約数の和を求めよ

解説

• 素因数分解を「約数の和の公式」に応用
• 入試の整数問題や数列の問題で頻出の典型テーマ

素因数分解の応用問題（定期テスト・入試レベル）

応用問題では、素因数分解をGCD・LCMや整数条件の証明、多項式の因数分解に直結させます。基礎を応用できるかどうかが得点差になります。

① 最大公約数（GCD）・最小公倍数（LCM）の計算

素因数分解の最も基本的な使い道です。

それぞれの数を素因数分解し、指数の小さい方をとればGCD、指数の大きい方をとればLCMが求められます。定期テストの基礎問題から入試整数問題まで幅広く出題されます。

例題
84と210の最大公約数・最小公倍数を求めよ。

補足：2数を同時に素因数分解していくとわかりやすい

GCDは青で囲まれた

LCMは赤で囲まれた

解説

• GCDは「共通部分の最小指数」をとる
• LCMは「すべての素数の最大指数」をとる
• 指数比較だけで瞬時に計算できるのが素因数分解の強み

② 因数分解（多項式）とのつながり

素因数分解は整数だけでなく、多項式の因数分解や整数条件の問題にも直結します。入試では「式が素数になる条件を求めよ」という形で頻出です。

例題

解答

解説

• 「素数 ＝ 1と自分自身以外で割れない」という定義を使う
• 積が素数になる → 因数の一方が1である必要がある
• 典型的な 整数条件＋因数分解 の融合問題

つまずきやすいポイントと克服法

素因数分解はシンプルに見えて、「どこから割るか」「素数を覚えていない」「指数に直し忘れる」といった落とし穴があります。典型的なつまずき方を知り、克服法を身につけることが大切です。

大きな数で迷う

• 理由：「どこから割ればいいか分からない」「候補が多すぎる」
• 克服法：小さい素数（2,3,5,7）から順に試す。判定のコツを覚えると楽。

• 2：偶数
• 3：桁和が3の倍数
• 5：末尾が0か5
• 7： まで割り算

素数の見分けが曖昧

• 理由：素数表を覚えていないと割る対象が定まらない
• 克服法：30までの素数を暗記。余裕があれば100まで表で確認。「平方根まで」で十分と理解

指数表記に慣れていない

• 理由：同じ数を並べたままにしてしまい、時間切れやミスに
• 克服法：必ず指数に直す習慣を

→ GCD・LCMや約数計算にもそのまま使える。

まとめ｜素因数分解のやり方と大事なポイント

素因数分解は「自然数を素数の積に分ける操作」
→ GCD・LCMや約数の個数、平方数判定など整数問題の入口となる基礎。

小さい素数から順に割る
→ 2,3,5,7の整除判定で効率化。

指数表記に直す
→ やにまとめると、そのまま公式や証明に使える。

「素因数分解の一意性」が整数分野全体の土台
→ 公約数・公倍数や整数証明が成り立つ理由になる。

ただ実際の学習では、

• どの素数から試せばいいか迷う
• 素数を覚えていなくて手が止まる
• 指数に直し忘れてミスしてしまう

といった壁に直面する高校生は多いです。そんなときに役立つのが 進研ゼミのAI質問機能（お試し無料）。

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