加法定理とは？

図や式を使った加法定理の証明

代数的な証明（教科書的アプローチ）

単位円周上の2点A,Bを次のように定めます。

ABの距離を2通りに表し、一致させることで

を導きます。

1）距離公式でAB²を求めます。

2）余弦定理AB²を求めます。

3）1）と2）を一致させます。

4）cos（α＋β）を導きます。

5）sin（α＋β）を導きます。

にcos(U-V)=cosUcosV+sinUsinVを適用する。

とすると

6）tan（α＋β）を導きます。

βの代わりに-βを用いることですべての公式を導くことができます。

ベクトルを使ったスマートな証明（発展）

加法定理の内、次の式を導きます。

準備

内積を

と表す一方で、成分計算で

とも書けるので、両者を一致させると

が導かれます。

そのほかの公式は上記証明と同様です。

加法定理から派生した公式

加法定理は、ここからさらに便利な公式を導く基礎になります。定期テストや入試では 2倍角・半角・合成 が頻出です。特に数学Ⅲの積分では、これらの公式を自由に使いこなせないと計算が進みません。

すべての公式は 加法定理から導くことができる ので、「丸暗記」ではなく つながりを理解して覚えること が大切です。

2倍角の公式を証明する

半角の公式を証明する

2倍角公式を変形すれば、半角公式が得られます。

ここでと置き換えると、

三角関数の合成（Rsin(x＋α)型への変形）

例：に書き換えます。

一般的に

が成立します。右辺で加法定理を用いると左辺が導かれます。
ここで例に答えると、ここではです

よって

です。したがってα=60°となります。

よって

と変形できます。

よくあるつまずきポイントQ&A

• Q1：符号を間違えやすい → 「cosは逆、sinは同じ」をセットで覚えましょう
• Q2：tanの分母の符号を忘れる → 図を書いて角度のイメージで確認することが大切です。
• Q3：合成のとき角αを取り違える → 「cosとsinの係数比」から丁寧に計算しましょう。具体的に角度αが定まるときがあります。

練習問題にチャレンジ！（答案付き）

問題1：sin75°を加法定理で求めよ

解答

問題2：cos15°を加法定理で求めよ

解答

問題3：tan(A+B)の値をtanA=2,tanB=3を用いて求めよ

解答

問題4：のときsin2θを求めよ

解答

θの範囲は第2象限なのでcosθ＜0

問題5：の最大値を求めよ。

解答

合成して考える。

ここで

したがって

ただし、

よって1≦sin(x+α)≦1より最大値は5です。

まとめ｜加法定理の覚え方や大事なポイント

• 加法定理は「角の和や差を展開する公式」
  → 三角関数の計算や変形の入口となる重要な公式。
• sinは符号が同じ、cosは符号が逆、tanは分母に注意
  → 符号ミスや分母の見落としが最も多いエラー。
• 証明は2種類の視点で理解するのが効果的
  • 図形・ベクトルで直感的にイメージ
  • 余弦定理で代数的にしっかり押さえる
• 具体例で公式を使い慣れることが重要
  → sin75°,cos15°,tan75°のような典型問題を解き直す。
• 派生公式（2倍角・半角・合成）は必ず加法定理から導ける
  → 「なぜ成り立つか」まで理解すると入試レベルでも安心。
• 最大・最小問題は合成を使うと見通しが良くなる
  → αsinx+bcosx=Rsin(x+α) の形をマスターしておく。

加法定理の公式や証明方法、派生公式（2倍角・半角・合成）まで学べても、

• 「sinは同符号／cosは逆符号を、試験になると混乱してしまう」
• 「証明の流れを覚えたつもりでも、答案で途中を飛ばしてしまう」
• 「練習問題を解いたが、自分の解答が本当に正しいか不安」

という壁に直面する高校生は多いです。

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