素数とは？

素数の定義について

まずは、素数の定義から整理していきましょう。

• 条件1：自然数（※）であること
• 条件2：2以上であること
• 条件3：1とその数自身以外に約数を持たないこと

これら3つの条件をすべて満たす数が「素数」です。

※自然数とは、1,2,3,…と続く1以上の整数を指します。高校数学では通常0を含みませんが、分野によっては0を含める場合もあります。

素数の例と一覧

高校でよく出てくる素数の例をまとめました。まずは、代表的な小さい素数から確認してみましょう。

代表的な素数は：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…などになります。さらに、100以下の素数を表に整理すると、理解がしやすくなるでしょう。

この表を覚えておくと、次のような場面で役立ちます。

素数判定の効率化
100以下の数なら、表を参照すれば一瞬で素数かどうかを確認できます。

因数分解・約数の問題
素因数分解のとき、すぐに使える素数を思い出せるので計算がスムーズになります。

最大公約数・最小公倍数の計算
共通の素因数を探すときに、表を頭に入れておくと間違いが減ります。

入試・模試での時間短縮
素数を判定するたびに割り算するのではなく、一覧を思い出せれば、計算時間を大幅に短縮できます。

素数を簡単に見分ける方法（手順つき）

高校数学では、次のような場面で「素数かどうか」を素早く見分ける力が必要になります。

• サイコロの目や確率の問題で「素数である確率」を求めるとき
• 整数問題で「nが素数なら〜を満たす」を前提に証明するとき
• 因数分解や約数の問題で、因数が見つからない＝素数であることを示すとき

こうした問題では、いちいち長い割り算をするのではなく、次の手順を使って効率的に判定します。

素数かどうかを判定する標準的な方法は次の通りです。

• 偶数か確認
  　2を除く偶数はすべて合成数（※）。
• 3の倍数か確認
  　各位の数字の和が3の倍数なら、その数も3の倍数となり合成数。
• 以下の整数で割れるか確認
  整数 n が合成数なら
  と書ける。このときとなるため、までの整数で割れなければ n は素数と結論できる。

例：91

• 2, 3, 5 では割れない
• 7 で割れる（91 ÷ 7 = 13）
  　→ よって 91 は素数ではなく、合成数

ポイント

• まず 2・3で候補を大きく減らす
• その後、 まで調べれば必ず判定できる
• この原理を理解しておけば、整数問題で「素数であることを示す／素数でないことを示す」記述にそのまま使える

※合成数とは、1と自分自身以外にも約数をもつ2以上の自然数を指します。すなわち、素数ではない2以上の自然数が合成数です。

素数に関連した練習問題

ここでは、実際に素数かどうかを判定する練習問題を解いてみましょう。

問題1：次の数が素数かどうか判定しよう

• 29
• 51
• 97

解答・解説

• 29 → ≒ 5までの整数（2, 3, 5）で割れるか確認
  • 2では割れない
  • 3では割れない
  • 5では割れない → 素数
• 51 → ≒ 7まで確認
  • 3で割れる（3 × 17） → 合成数
• 97 → ≒ 9まで確認（2,3,5,7）
  • 割れる数なし → 素数

問題2：次の式が素数となる整数nの値を求めよう。

解答・解説

1. 式を因数分解する

2. 素数になるためには、1とその数自身以外で割れない自然数である必要がある

3. よって、いずれかの因数が1になる値を確認する

これで式が素数になるnは8と14ですが の時 となってしまうため、 が解答となります。

ポイント

• 練習問題を通して、素数の定義と判定方法を確認できます。
• 式や因数分解を使った応用問題にも対応できるようになると、テストでも安心です。

素数の性質と使われ方

素数は、単なる「割り切れない数」以上に、数学や社会で大切な役割を持っています。

1. 素数は無限に存在する

• 古代ギリシャの数学者エウクレイデスは、素数が無限に存在することを証明しました。
• 証明のポイントは背理法を用いて「もし有限だと仮定すると、すべての素数を掛け合わせて1を足した数が、どの素数でも割り切れない矛盾が生じる」という考え方です。

2. 素因数分解の基本

• すべての自然数は、素数の積で1通りに表すことができます。（素因数分解の一意性）

例：

• この性質は、分数の約分や最大公約数・最小公倍数を求めるときに非常に役立ちます。

3. 暗号技術への応用

現代のインターネットの暗号（RSA暗号など）では、大きな素数の掛け算が利用されます。これにより、個人情報や通信データを安全に守ることができます。

「素数を知ることは、数学の基礎だけでなく社会での応用にもつながる」ということを覚えておきましょう。

ポイント

• 素数は無限に存在し、数学の基礎として重要
• すべての自然数は素数の積で表せる（素因数分解）
• 暗号や情報技術など、社会でも活用されている

まとめ｜素数のポイントをわかりやすく解説

ここまでの内容を振り返り、高校数学で押さえておくべき素数のポイントを整理しましょう。

素数の定義

• 2以上の自然数で、1と自分自身以外に約数をもたない数
• 1は素数ではない（約数が1つしかないため、定義を満たさない）

判定法の基本

• まず 2・3の倍数チェックで候補を絞る
• その後 以下の整数で割り算を試すことで完全に判定できる
• この手順は整数問題や確率の問題で直接役立つ

数学的意義

• 素因数分解の一意性：すべての自然数は素数の積でただ1通りに表せる
• 整数問題の証明や「最大公約数・最小公倍数」を求める際の基礎になる

社会的応用

• 暗号技術（RSA暗号など）に利用され、情報セキュリティの根幹を支えている

素数の定義、判定法、性質は学べても、

• 「なぜ まで調べればよいか証明できない」
• 「途中の論理が飛んで意味がつながらない」
• 「練習問題を解いたが自分の解答が正しいか不安」

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