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【図形と計量】tanの値からcosの値を求めるときの分数の式変形について

tanの値からcosの値を求めるときの分数の式変形について

1+tan^2θ = 1/cos^2θ　･･････①
から，
cos^2θ = 1/(1+tan^2θ)　･･････②
にいきなりなるのがわからない。
①から②になる途中過程，分数の計算を教えてほしい。

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，早速，回答します。

【質問の確認】

【問題】
0°≦θ≦180° とする。tanθ＝−2のとき，sinθ，cosθの値を求めよ。

について，cosθ の値を求めるときに，
三角比の相互関係
1+tan²θ= 1/cos²θ……①　から，
1+tan²θ= 1/cos²θ……①

と変形する，分数の計算を教えてほしい。

というご質問ですね。

【解説】

これは，両辺を逆数にする変形です。逆数というのは，分母と分子を入れかえた数のことで，

K(＝K/1)の逆数は，1/K　P/Qの逆数は，Q/PK(＝K/1)の逆数は，1/K　P/Qの逆数は，Q/P

となります。
そして，質問されている変形は，等式の左辺，右辺ともに，分母と分子を入れかえる変形です。
等式の場合は，左辺，右辺ともに分母と分子を入れかえても，等号が成り立ちます。すなわち，

A/B = C/D ⇔ B/A = D/CA/B = C/D ⇔ B/A = D/C

となります。

今回の式は

1＋tan^2 θ = 1/cos^2 θ1＋tan^2 θ = 1/cos^2 θ

で，左辺は1と　tan2 θ の和ですが，1 + tan2 θ をひとまとめにしてKと考えると，

Kの逆数は，1/K だから，1 ＋ tan^2 θ の逆数は，1/1 + tan^2⁡θ　右辺は，この反対の変形で，1/cos^2 θ の逆数は，cos^2 θKの逆数は，1/K だから，1 ＋ tan^2 θ の逆数は，1/1 + tan^2⁡θ　右辺は，この反対の変形で，1/cos^2 θ の逆数は，cos^2 θ

ですから，

1＋tan^2 θ ＝ 1/cos^2 θ ⇔ 1/1+ tan^2 θ ＝ cos^2 θ 1＋tan^2 θ ＝ 1/cos^2 θ ⇔ 1/1+ tan^2 θ ＝ cos^2 θ

となります。

また，次のように導くこともできます。

また，次のように導くこともできます。 また，次のように導くこともできます。

両辺の逆数をとった方が計算が楽ですね。

【アドバイス】

練習問題に取り組むことで，こういった計算方法についても，収穫がありますね。模範解答の計算手順には，工夫があって，それらをまねして使っていたら，身についていきます。単に，暗算が速いかどうかだけではなく，工夫して変形する力も計算力のうちですし，得点する力の素になりますよ。

これからも『進研ゼミ高校講座』を使って，得点を伸ばしていってくださいね。

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※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

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「進研ゼミ　ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
通信環境

常時接続可能なブロードバンド（光ファイバなど）環境と、無線LAN（Wi-Fi）環境をご用意ください（10Mbps以上を推奨）。
  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
今後お届けするご案内・教材については、最新の入試情報を踏まえてお届けできるように努めてまいりますので、ご理解のほど何卒よろしくお願い申し上げます。
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