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【図形と計量】三角形の3辺が与えられたときの面積の求め方

三角形の3辺が与えられたときの面積の求め方

「3辺の長さが，5，4，7の三角形の面積を求めよ。」という問題がわかりません。面積を求めるときは，公式　S＝1/2bc　sinA に当てはめればいいことは知っています。しかし，この公式を使うには，A の大きさが必要ですが，問題で与えられていないので，この公式が使えません。どうやって求めたらいいのですか？

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】
3辺の長さが，5，4，7の三角形の面積を求めよ。

上の問題がわかりません。面積を求めるときは，公式に当てはめればいいことは知っています。

しかし，この公式を使うには，Aの大きさが必要ですが，問題で与えられていないので，この公式が使えません。どうやって求めたらいいのですか？
というご質問ですね。

【解説】

試験では，三角形の面積を求める問題がよく出題されますが，面積を求める公式にそのまま当てはめるだけで答えが求められる問題は少ないです。この問題もそうですね。だから，工夫をして公式が使えるように「準備」をすることが必要なのです。その工夫の仕方を覚えておきましょう。
その前に，公式について，基本を確認しておきましょう。

≪三角形の面積の公式≫
教科書などでは，やという公式が載っていますが，これらをすべて覚える必要はありません。図と公式の対応をしっかり覚えておけば大丈夫です。そこで，下の図のように，三角形のうち，2辺と，その2辺がはさむ角と覚えておきましょう。

1/2 ヘンペンそのはさむ角と覚えましょう。

では， △ＡＢＣの面積を求めてみましょう。

で，辺辺は与えられていますが，角の大きさがわかりません。そこで，角を「準備」します。
ここでは，sin Aを求めましょう。

[Step 1] sin Aは直接求められないので，まず，余弦定理でcos Aを求める。

cosA=(5^2+4^2-7^2)/(2･5･4)=(25+16-49)/(2･5･4)=(-8)/(2･5･4)=-1/5

[Step 2] cos Aから，sin Aを求める。

sin^2 A+cos^2&A=1より，sin^2 A=1-cos^2A=1-(-1/5)^2=24/25 0°<A<180°より， sin A >0だから，sin A=√(24/25)=(2√(6))/5 sin^2 A+cos^2 A=1より，sin^2 A=1-cos^2 A=1-(-1/5)^2=24/25 0°<A<180°より， sin A >0だから，sin A=√(24/25)=(2√(6))/5

ここで，Aの大きさはわかりませんが，面積を求めるためにはAの大きさがわからなくてもsinAの値がわかれば十分なのです。
★これで，公式を使う準備ができました。あとは，面積の公式に当てはめるだけです！

[Step 3] S＝1/2辺辺sin角に当てはめて，面積を求める。

S=1/2･5･4･(2√6)/5=4√6　･･････（答）

★ここでは，sinAの値を求めましたが, sinB，sinC を用いてもかまいません。

さて，このように，

$面積の公式$ $面積の公式$
という解法はお決まりのパターンなので，覚えておきましょう。

◎オマケ
ほかにも，の公式がそのまま使えないような「面積を求める問題」は，次のパターンがあります。

【1辺と2つの角が与えられたとき】

例えば，図のように，bとA，Bの大きさが与えられた場合にも，与えられた条件をもとに，

の公式が使えるようにします。

そこで，次の[Step 1，2]のように，公式が使える準備からスタートです。

[Step 1] で，b，Aはわかりますが，もう１つの辺の長さcはわかりません。そこで，cを求めるために，まずC = 180°- A - B より，C を求めます。

[Step 2] [Step 1]で求めたCを用いて，
正弦定理 c/sin C =b/sin B より，c=(b sin C)/sin B
つまり辺の長さcを求めます。

これで，２辺b，cとそのはさむ角Aがわかりました。あとは，公式に当てはめればOKです。

[Step 3] もにあてはめて，面積を求めます。

このように，いずれにしてもの公式が使えるように，必要な辺，辺，角（あるいはsin角の値）を準備すればよいわけですね。

【アドバイス】

三角比を利用して三角形の面積を求めるときには，まず図をかいて，どこの辺や角がわかっているかを確認します。そして，の公式を使うために，必要な辺，辺，角でわかっていないものは何かを調べ，その「準備」をします。必要な辺，辺，角が準備できれば公式に当てはめて求めればよいですね。このような問題はよく出題されるので，解き方をしっかりマスターしておきましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。