【図形と計量】正弦定理から,三角形の辺の長さを求める計算について

正弦定理から,三角形の辺の長さを求める計算について

△ABCにおいてa = 3 ,A = 60°,B = 45°のときbを求めよ。
という問題がありますが, これを定理にあてはめていって,
b = 3 / sin60°× sin45°
まではつくれるんですが,そこから
(3 ÷ √3/2 ) × 1/√2= 6/√6=√6
というのになるのが,意味がわかりません。 なぜルートが出てくるのですか?
(3 ÷√3/2)×1/√2が,もう何が何だかわかりません。どこから√ が現れたんですか?
どこにも二乗とかないのに。
これでもか!というぐらい細かく教えてください。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。早速あなたの質問にお答えします。

【質問の確認】

△ABCにおいてa = 3 ,A = 60°,B = 45°のときbを求めよ。
という問題がありますが,正弦定理にあてはめていって,

b =3/sin60°×sin45° b =3/sin60°×sin45°

まではつくれるんですが,そこから

(3 ÷ √3/2) × 1 /√2 = 6/√6 =√6 (3 ÷ √3/2) × 1 /√2 = 6/√6 =√6

というのになるのが,意味がわかりません。なぜルートが出てくるのですか?

というご質問ですね。

【解説】

≪30°,45°,60°の三角比の確認≫
まず,30°,45°,60°の角をもつ特別な直角三角形の3辺の比を確認しておきましょう。

ですね。上記の30°,45°,60°の三角比は,いつでも使えるようにしておくことが大切です。

≪正弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める≫
では,

問題
△ABCにおいて,a=3,A=60°,B=45°のとき,bを求めよ。

を解いてみましょう。
aAbBは向かい合う辺と角だから,

図 図

正弦定理  a/sinA  = b/sinBa/sinA  = b/sinB より,3/sin60° = b/sin45°3/sin60° = b/sin45°
両辺にsin45°を掛けて,

b = 3/sin60° × sin45° b = 3/sin60° × sin45°

ここまで変形したら,sin60° = √3/2sin60° = √3/2 ,sin45° = 1/√2sin45° = 1/√2 を代入します。

すると,

b = 3/sin60° × sin45° = (3 ÷ sin60°) × sin45° = (√3/2)× 1/√2 =  3 × 2/√3 × 1/√2 = 6/√6 = √6 b = 3/sin60° × sin45° = (3 ÷ sin60°) × sin45° = (√3/2)× 1/√2 =  3 × 2/√3 × 1/√2 = 6/√6 = √6

が導かれます。

【アドバイス】

正弦定理や余弦定理と同じように,
30°,45°,60°の三角比は,いつでも使えるように覚えておきましょう。

これからもゼミの教材を活用して頑張ってください。
ではまたわからないことがあったら質問を送ってくださいね。

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