【図形と計量】cosの値が負になるときの角度の求め方

cosの値が負になるときの角度の求め方

なぜ、cosθ = −1/ 2のときにθ =120°になるんですか?
−1/√2や−√3/ 2のようにマイナスがついたときはどうなるんですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。早速あなたの質問にお答えします。

【質問の確認】

なぜ,cosθ−1/2−1/2 のときに θ =120° になるんですか?
また, −√3/2−√3/2−1/√2−1/√2のようにマイナスがついたときはどうなるんですか?

というご質問ですね。

【解説】

≪cosθ−1/2−1/2 を満たすθについて≫
まず基本となるのが,次の三角比です。

sin60°= √3/2,cos60°= 1/2,tan60°=√3sin60°= √3/2,cos60°= 1/2,tan60°=√3

この三角比はいつでも使えるように覚えておきましょう。
ここで,図1の直角三角形は座標平面上に下の図2のように かくことができます。

図1図1 図2図2

次に,図3のようにx座標が −1/2−1/2 となる単位円周上の点Pをとると,
点Pのx座標 = −(点Qのx座標)
だから,点Pと点Qはy軸対称の位置にあることがわかります。

よって∠POB=∠QOA=60°ですね。これより,∠POA=180°−∠POB =180°−60°=120°よって∠POB=∠QOA=60°ですね。これより,∠POA=180°−∠POB =180°−60°=120°

が導かれます。
したがって,cosθ = −1/2−1/2 のとき, θ = 120°とわかります。

図3図3

≪cosθ の値が−1/√2−1/√2−√3/2−√3/2 のときのθ

同じように,
cosθ−1/√2−1/√2 の場合は,cos45°=1/√21/√2 の直角三角形を基準に考えて,図4より

θ = ∠POA=180°−∠POB =180°−45°=135° θ = ∠POA=180°−∠POB =180°−45°=135°

となりますね。

図4図4

cosθ =−√3/2 の場合は,図は省略しますが,cos30°=√3/2の直角三角形を基準に考えてθ=180°−30°=150°cosθ =−√3/2 の場合は,図は省略しますが,cos30°=√3/2の直角三角形を基準に考えてθ=180°−30°=150°

となります。

【アドバイス】

30°,45°,60°の三角比の値は覚えておいて,いつでも使えるようにしておきましょう。また,半径1の単位円において,下図のように,点P(x,y)のx座標,y座標が三角比の値となることも三角比の問題を解くときのポイントになります。

しっかりマスターしておきましょう。
ではまたわからないことがあったら質問を送ってくださいね。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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