【場合の数と確率】倍数の個数の求め方

倍数の個数の求め方

どうやったら1から100までの整数のうち,
3の倍数や5の倍数でないのかを導きだせるのかよくわからないです。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について、早速 回答させていただきます。

【質問の確認】

【問題】

1から100までの整数のうち、次のような整数は何個あるか。
(1) 3の倍数である整数
(2) 5の倍数でない整数
(3) 3の倍数かつ5の倍数である整数
(4) 3の倍数または5の倍数である整数

について、どうやって1〜100までの整数のうち3の倍数や5の倍数でない整数の個数を導き出すかについてですね。

【解説】

集合の要素の個数を考える問題で、3の倍数や、5の倍数でないものを、どのように導きだすのかよく分からない・・・ということですね。

まず(1)について、
ひとつ、具体例で、考えてみましょう。

≪(例) 1から10までの自然数において、3の倍数は?・・・≫

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10 3,  6,  9 の「3つ」ですね。3の倍数は、3×1, 3×2, 3×3, 3×4, ・・・ のように、の形で、表されます。そこで、「1から10までの整数で、3の倍数は・・・3個」というのを、具体的に書き出さないで、どのようにすれば、分かるのか? というと、(10 = 3×3+1)割り算をして、商から、「3個」と求めることが、できるのです。次の問題も、上の例1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10 3,  6,  9 の「3つ」ですね。3の倍数は、3×1, 3×2, 3×3, 3×4, ・・・ のように、の形で、表されます。そこで、「1から10までの整数で、3の倍数は・・・3個」というのを、具体的に書き出さないで、どのようにすれば、分かるのか? というと、(10 = 3×3+1)割り算をして、商から、「3個」と求めることが、できるのです。次の問題も、上の例

次の問題も、上の例と同じ考え方で、求めることが出来ます。

(1)「3の倍数である整数の個数」を求める問題

ここでは、「1から100までの整数」の中で、3の倍数の個数を考えるので、3×(整数)で表される、一番大きい(整数)を、求めてみましょう。

100÷3 を計算します。

100÷3= 33・・・1 (100 = 3×33+1)

商は、「33」となることから、 「33個」と分かります。

これを、集合の要素の形で表すと、解答解説のように

A={3∙1, 3∙2, 3∙3,・・・, 3∙33 }

と表せるわけです。

次に

(2)「5の倍数でない整数」を求める問題≫

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11,・・・・などと、5の倍数ではないものを、考えると数が多くて、数えるのも大変そうです。
そこで、『「5の倍数」の個数を調べて、100から引く』のが簡単・・・と考えることが、ポイントです。

5の倍数は、(1)の3の倍数の個数を数えたのと、同じように考えてみましょう。

として、求めることができます。

次に

(3)「3の倍数かつ5の倍数である整数の個数」を求める問題≫

「3の倍数かつ5の倍数」ということは、15, 30, 45, 60 ・・・のような整数ですから、

と考えることが、ポイントです。 15の倍数を(1)と同様に考えて求めてみましょう。

最後に

(4)「3の倍数または5の倍数」を求める問題≫

これは、具体的には、

3の倍数: 3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27,  30, ・・・① 5の倍数: 5,  10,  15,  20,  25,  30,  35,・・・②3の倍数: 3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24,  27,  30, ・・・① 5の倍数: 5,  10,  15,  20,  25,  30,  35,・・・②

より、①、②の数を数えて、「①+②」 をすれば良いのですが、注意点がひとつ。 ○で囲んだ整数は、①にも②にも含まれるので、2回数えていることになります。

よって、

と計算することが、ポイントです。

【アドバイス】

今回の問題を通して、「3の倍数」の個数や、「かつ」・「または」を考えるときのポイントなどをおさえておきましょう。その上で、(2)のように「〜でない」場合の数を数えるときには、「〜〜である」ものの数を数えて、全体から引く という考え方を、身につけておくと良いですね。

今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

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