【2次関数】2次関数のグラフとx軸の位置関係

2次関数のグラフとx軸の位置関係

2次関数のグラフと x軸の位置関係がわかりません。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

2次関数のグラフと x軸の位置関係がわかりません。
というご質問ですね。

【解説】

2次関数のグラフは,頂点の座標により,グラフの位置が動きます。その関係を見ていきましょう。

x 軸と交わる様子に着目≫
「2次関数のグラフ」と「x 軸」に注目して,この2つの図形が交わる様子を表現すると…

グラフと切片の関係 グラフと切片の関係

この3つのパタ−ンがあることがわかりますね。

≪共有点に着目≫
2次関数のグラフと x軸が共有する点,つまり,下の赤い点を「共有点」といいます。

「共有点」 「共有点」

この「共有点」の個数で,位置関係を表現すると,

「共有点」 「共有点」

という同様の3つのパタ−ンになります。

≪実数の解の個数に着目
2次関数を ya x2b xc とすると x軸は,y=0と表現できますね。2次関数のグラフと x軸の「共有点」の座標は,ya x2b xcy=0を連立して得られる2次方程式ax2bxc=0 の実数の解として求めることができます。(つまり,上の図の共有点 ●のx座標は,この ax2bxc=0の実数の解です。)
例えば,yx2−3x+2のグラフは次のようになります。

「共有点」 「共有点」

この「実数の解」の個数で,位置関係を表現すると,

「共有点」 「共有点」

という3つのパタ−ンになります。

◎実数の解の個数の応用◎
実数の解の個数というのは,2次方程式 ax2bxc=0 から,次の判別式で簡単に求めることができます。
2次方程式 ax2bxc=0  は,解の公式 を用いれば,すべての解が求まりますね。そこで,これを使って実数の解の個数を調べましょう。

実数の解の個数 実数の解の個数

これらのグラフは,b2−4ac の符号により,3つのパタ−ンのどれかに決まることがわかりますね。
つまり,Db2−4ac とすると,

このように,2次方程式 ax2bxc=0 から判別式 Db2−4acの符号を調べれば,簡単に2次関数のグラフと x軸の位置関係を知ることができます。

【アドバイス】

2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の位置関係は,y=0とおいた2次方程式ax2bxc=0 の判別式
Db2−4ac の符号から求められます。この結果だけを暗記するのでなく,上で説明したようになぜ判別式の符号から求められるかをしっかり理解しておくことが大切です。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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