【2次関数】「b′」を使う解の公式の意味

「b′」を使う解の公式の意味

2次方程式の解の公式で, x=−b′±√b′^2−ac/a という公式の意味がわかりません。
また,公式x=−b±√b^2−4ac/2a との違いもわかりません。どちらの公式を使ったらいいんですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

2次方程式の解の公式で,という公式の意味がわかりません。
また,公式との違いもわかりません。どちらの公式を使ったらいいんですか?
というご質問ですね。

【解説】

まずは,公式の確認をしておきましょう。
2次方程式の解の公式では,

【公式1】 【公式1】

が標準的ですね。この公式を使えば,どのような2次方程式も解くことができます。

しかし,「x の係数が偶数(2の倍数)」のときには,もっと簡単に計算できる公式が使えます。
それが,b'を使った公式,すなわち,

【公式2】 【公式2】

です。
つまり,【公式2】は,「 xの係数が偶数」のときに,ラクに計算するためのものなのです。

≪具体例で考えてみよう≫

【例題】 2次方程式3x2+6x+2=0を解け。

上の例題で与えられた2次方程式のxの係数6は,偶数ですね。したがって,

3x2+6x+2=0 3x2+2・3x+2=0 3x2+6x+2=0 3x2+2・3x+2=0

というように,xの係数は2×●と表すことができるので,ax22b'xc = 0と同じ形になりましたね。

そこで,a=3,b'=3,c=2 として, の公式に代入すればよいわけです。計算をすると,

x=(-3±√(3^2-3・2))/3=(-3±√3)/3 x=(-3±√(3^2-3・2))/3=(-3±√3)/3

となります。

≪【公式2】が正しいことを確かめよう≫
ax2bxc = 0 と ax22b'xc = 0 の違いは,bと2 b' だけです。
ここで,【公式2】が正しいことを確かめるため,【公式1】を使って,【公式2】を導いてみます。
ax22b'xc = 0 の解は,

x=(-(2 b')±√((2 b')^2-4ac))/2a=(-2 b'±√(4 b'^2-4ac))/2a=(-2 b'±√(4(b'^2-ac)))/2a=(-2 b'±2√(b'^2-ac))/2a=(- b'±√(b'^2-ac))/a x=(-(2 b')±√((2 b')^2-4ac))/2a=(-2 b'±√(4 b'^2-4ac))/2a=(-2 b'±√(4(b'^2-ac)))/2a=(-2 b'±2√(b'^2-ac))/2a=(- b'±√(b'^2-ac))/a

これで,【公式2】を導くことができました。

【アドバイス】

xの係数が偶数の場合に【公式1】を使うと,【公式2】よりも√の中の計算が大変になります。したがって,【公式2】の方が便利です。ただし,【公式2】をきちんと覚えている自信がないときは,【公式1】で丁寧に計算するのも,着実に点をとる方法ですが,上で説明した【公式1】からの導き方を理解しておけば【公式2】を特別に覚えておく必要もないですね。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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