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【2次関数】「2次関数のグラフとx軸の共有点」と「2次方程式の解」

「2次関数のグラフとx軸の共有点」と「2次方程式の解」

「2次関数のグラフとx軸の共有点」を求めるのに,「2次方程式」を解くのはなぜ?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

「2次関数のグラフとx軸の共有点」を求めるのに,「2次方程式」を解くのはなぜ?
というご質問ですね。

【解説】

≪まずは復習から 〜y軸との共有点〜≫
次のような1次関数は,中学で学びましたね。まずは,これを例に,グラフと切片の関係をつかんでいきましょう。

このグラフ(直線)は,2点 (0,1),(1,3) を結んでかくことができます。

ここで,y切片,つまり,y軸との共有点の座標は1ですね。式で,y axbbが,y軸との共有点の座標だと覚えていればすぐにわかりますが,ここでは,y軸との共有点の座標が1になる理由を考えてみましょう。
y軸上の点は,

グラフと切片の関係 グラフと切片の関係

のように,すべて (0b) の形で表すことができます。つまり,x座標は,0ですね。y切片を求めるには,x座標が0となるy=2x+1のグラフ上の点の座標,つまり,x=0のときのy座標を求めればよいのです。
y= 2x+1に,x=0を代入して,
y=2×0+1 =1

よって,y切片は1になるのです。

 ≪1次関数のグラフとx軸との共有点は・・・?≫
では,x軸との共有点はどのようにして求めればよいでしょうか。
(1)の結果から予測すると,y=2x+1に,y=0を代入すればよいのです。というのも,x軸上の点は,

このように,すべて (a0) の形で表すことができます。したがって,y座標が0となるグラフ上の点のx座標,つまり,y=0のときのx座標を求めればよいのです。
y=2x+1に,y=0を代入して,

よって,この1次関数のグラフとx軸の共有点を求めるとき,(*)という式になりました。これは,1次方程式ですね。つまり, 1次関数yaxbのグラフとx軸の共有点のx座標は,1次方程式axb=0の解である,といえるのです。

≪2次関数のグラフとx軸の共有点では・・・≫
これは,2次関数のときも同様です。
yx2−4x+3のグラフとx軸の共有点の座標は,
x,0)とおけるので,yx2 − 4x + 3 で,y = 0として,
0=x2−4x+3
この2次方程式x2−4x+3=0を解いて,
(x−1)(x−3)=0
よって,x =1,3

したがって,2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式ax2bxc=0の解であるといえます。

ax2+bx+c=0の解 ax2+bx+c=0の解

≪そして,おまけ≫
グラフが「上に凸」のときは,両辺に−1を掛けて,x2の係数を正の数にした方が計算しやすくなりますよ。

おまけ おまけ

【アドバイス】

2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点の座標は,(x,0)とおける,すなわち,y=0であることを理解しておきましょう。そうすると,2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式ax2bxc=0の解であることがわかりますね。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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