【2次関数】「2次関数のグラフとx軸の共有点」と「2次方程式の解」

「2次関数のグラフとx軸の共有点」と「2次方程式の解」

「2次関数のグラフとx軸の共有点」を求めるのに,「2次方程式」を解くのはなぜ?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

「2次関数のグラフとx軸の共有点」を求めるのに,「2次方程式」を解くのはなぜ?
というご質問ですね。

【解説】

≪まずは復習から 〜y軸との共有点〜≫
次のような1次関数は,中学で学びましたね。まずは,これを例に,グラフと切片の関係をつかんでいきましょう。

このグラフ(直線)は,2点 (0,1),(1,3) を結んでかくことができます。

ここで,y切片,つまり,y軸との共有点の座標は1ですね。式で,y axbbが,y軸との共有点の座標だと覚えていればすぐにわかりますが,ここでは,y軸との共有点の座標が1になる理由を考えてみましょう。
y軸上の点は,

グラフと切片の関係 グラフと切片の関係

のように,すべて (0b) の形で表すことができます。つまり,x座標は,0ですね。y切片を求めるには,x座標が0となるy=2x+1のグラフ上の点の座標,つまり,x=0のときのy座標を求めればよいのです。
y= 2x+1に,x=0を代入して,
y=2×0+1 =1

よって,y切片は1になるのです。

 ≪1次関数のグラフとx軸との共有点は・・・?≫
では,x軸との共有点はどのようにして求めればよいでしょうか。
(1)の結果から予測すると,y=2x+1に,y=0を代入すればよいのです。というのも,x軸上の点は,

このように,すべて (a0) の形で表すことができます。したがって,y座標が0となるグラフ上の点のx座標,つまり,y=0のときのx座標を求めればよいのです。
y=2x+1に,y=0を代入して,

よって,この1次関数のグラフとx軸の共有点を求めるとき,(*)という式になりました。これは,1次方程式ですね。つまり, 1次関数yaxbのグラフとx軸の共有点のx座標は,1次方程式axb=0の解である,といえるのです。

≪2次関数のグラフとx軸の共有点では・・・≫
これは,2次関数のときも同様です。
yx2−4x+3のグラフとx軸の共有点の座標は,
x,0)とおけるので,yx2 − 4x + 3 で,y = 0として,
0=x2−4x+3
この2次方程式x2−4x+3=0を解いて,
(x−1)(x−3)=0
よって,x =1,3

したがって,2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式ax2bxc=0の解であるといえます。

ax2+bx+c=0の解 ax2+bx+c=0の解

≪そして,おまけ≫
グラフが「上に凸」のときは,両辺に−1を掛けて,x2の係数を正の数にした方が計算しやすくなりますよ。

おまけ おまけ

【アドバイス】

2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点の座標は,(x,0)とおける,すなわち,y=0であることを理解しておきましょう。そうすると,2次関数 yax2bxc のグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式ax2bxc=0の解であることがわかりますね。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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