【2次関数】場合分けのやり方について

場合分けのやり方について

(ⅰ) 0<a<1 となってますが, 1はどこから出てきたのですか?
また、(ⅱ) 1≦a<2 の2も
どこから出てきたのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
では、早速、質問にお答えしましょう。

【質問の確認】

【問題】

aは正の定数とする。2次関数y=-x2+2x (0≦xa)の最大値、最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

という、問題について、

【解答解説】

y=-x2+2x=-(x-1)2+1だから、この関数のグラフは、軸がx=1で、上に凸の放物線である。aの値により、最大値、最小値は次のようになる。以上より、0<a<1のとき最大値-a^2+2a (x=aのとき)最小値0(x=0のとき)1≦a<2のとき 最大値1(x=1のとき)最小値 0(x=0のとき)……(答)a=2のとき最大値 1(x=1のとき)最小値 0(x=0,2のとき)2<aのとき最大値1(x=1のとき)最小値-a^2+2a(x=aのとき)

の(ⅰ)から(ⅳ)の場合分けについてですね。

【解説】

2次関数の最大最小は「軸と定義域の位置関係」で決まります。従って、今回のように、定義域に文字を含み、その位置関係が固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする必要があります。

そこで求めているのが軸(x=1)で、場合分けにおける「1」とは、軸のx座標のことです。
また、場合分けにおける「2」とは、グラフとx軸との交点のx座標x=2のことなのです。

軸が求められたら、グラフの概形をかき、そのグラフ上でx=aを動かしてみましょう。
最大最小がどうなるかを見てみると、場合分けが見えてきますよ! 

その際、ポイントとなるのは次の点です!上に凸の放物線では・・

最大値 → 定義域に軸が含まれる時、必ず頂点で最大となるから、定義域に軸を含むか含まないかで場合分けします
最小値 → 定義域の両端の点のどちらかで必ず最小になるから、両端の点のy座標の大小関係で場合分けします

すると、最大値を考えて、(ⅰ)0<a<1のとき(←定義域に軸を含まない場合)とa≧1のとき(←定義域に軸を含む場合)になりますが、最小値を考えると、「a≧1のとき」は更に・・
(ⅱ)1≦a<2のとき と (ⅲ)a=2のとき と (ⅳ)a>2のとき に分けられることになります。

(ⅱ)〜(ⅳ)については・・・
a=2のとき定義域の両端の点のy座標が等しくなることから、aが少しでも2よりも大きくなるか小さくなると両端の点のy座標は異なるので、その小さい方で最小となることから、(ⅱ)〜(ⅳ)のような場合分けになるのです。

以上の点を踏まえて、解答をもう一度よ〜く読んでみて下さいね。

【アドバイス】

以上で説明を終わりますが、どうでしょう・・分かりましたか?
「2次関数の最大最小は、軸と定義域の位置関係で決まる。だから、それが固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする」ことをしっかり押さえましょう。今回は、定義域に文字が含まれていましたが、2次関数の式に文字を含む場合もあります。その時は、軸に文字を含むことになるので、やはり軸と定義域の位置関係で場合分けが必要になりますね!

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