【2次関数】場合分けのやり方について

場合分けのやり方について

(ⅰ) 0<a<1 となってますが, 1はどこから出てきたのですか?
また、(ⅱ) 1≦a<2 の2も
どこから出てきたのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
では、早速、質問にお答えしましょう。

【質問の確認】

【問題】

aは正の定数とする。2次関数y=-x2+2x (0≦xa)の最大値、最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

という、問題について、

【解答解説】

y=-x2+2x=-(x-1)2+1だから、この関数のグラフは、軸がx=1で、上に凸の放物線である。aの値により、最大値、最小値は次のようになる。以上より、0<a<1のとき最大値-a^2+2a (x=aのとき)最小値0(x=0のとき)1≦a<2のとき 最大値1(x=1のとき)最小値 0(x=0のとき)……(答)a=2のとき最大値 1(x=1のとき)最小値 0(x=0,2のとき)2<aのとき最大値1(x=1のとき)最小値-a^2+2a(x=aのとき)

の(ⅰ)から(ⅳ)の場合分けについてですね。

【解説】

2次関数の最大最小は「軸と定義域の位置関係」で決まります。従って、今回のように、定義域に文字を含み、その位置関係が固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする必要があります。

そこで求めているのが軸(x=1)で、場合分けにおける「1」とは、軸のx座標のことです。
また、場合分けにおける「2」とは、グラフとx軸との交点のx座標x=2のことなのです。

軸が求められたら、グラフの概形をかき、そのグラフ上でx=aを動かしてみましょう。
最大最小がどうなるかを見てみると、場合分けが見えてきますよ! 

その際、ポイントとなるのは次の点です!上に凸の放物線では・・

最大値 → 定義域に軸が含まれる時、必ず頂点で最大となるから、定義域に軸を含むか含まないかで場合分けします
最小値 → 定義域の両端の点のどちらかで必ず最小になるから、両端の点のy座標の大小関係で場合分けします

すると、最大値を考えて、(ⅰ)0<a<1のとき(←定義域に軸を含まない場合)とa≧1のとき(←定義域に軸を含む場合)になりますが、最小値を考えると、「a≧1のとき」は更に・・
(ⅱ)1≦a<2のとき と (ⅲ)a=2のとき と (ⅳ)a>2のとき に分けられることになります。

(ⅱ)〜(ⅳ)については・・・
a=2のとき定義域の両端の点のy座標が等しくなることから、aが少しでも2よりも大きくなるか小さくなると両端の点のy座標は異なるので、その小さい方で最小となることから、(ⅱ)〜(ⅳ)のような場合分けになるのです。

以上の点を踏まえて、解答をもう一度よ〜く読んでみて下さいね。

【アドバイス】

以上で説明を終わりますが、どうでしょう・・分かりましたか?
「2次関数の最大最小は、軸と定義域の位置関係で決まる。だから、それが固定されていない時は、軸と定義域の位置関係で場合分けをする」ことをしっかり押さえましょう。今回は、定義域に文字が含まれていましたが、2次関数の式に文字を含む場合もあります。その時は、軸に文字を含むことになるので、やはり軸と定義域の位置関係で場合分けが必要になりますね!

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「入会申し込みページ」の「支払方法等の選択」内にある「ご紹介者」の欄で、 「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」を選び、そのまま次の画面に進んでください。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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なお、ベネッセコーポレーションでは、新大学入試の最新情報をわかりやすく解説する「教育セミナー」(参加費無料)を全国で開催しております。これから新入試に向けて頑張る高校生のみなさま・保護者の方に、ぜひ、ご活用いただけますと幸いです。
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