【2次関数】場合分けを考える時のグラフについて

場合分けを考える時のグラフについて

こんにちは。いつもお世話になっています。

二次関数の場合分けを考える時のグラフについて質問があります。
教えてください。

解説ではグラフを書いて考える事になっています。

このグラフなのですが、自分で、書くことは出来るのですが、書いたグラフが、どれを指すのか分かりませ
ん。

とくに文字を含む場合は、もうお手上げです。
tは0より大きいのかなぁ?なんて迷ってます)

グラフがどれを指しているのか分かるようになりたいです!
教えてください!

進研ゼミからの回答!

こんにちは。がんばって勉強していますね。
では、早速質問にお答えします。

【質問の確認】

【問題】

aを実数の定数とする。0≦x≦2における2次関数y=x2-2ax+a2+1について、次のそれぞれの場合における最大値を求めよ。(1)a<1 (2)a=1 (3) 1<a と tを実数の定数とする。2次関数 y=-x2+2x-3(t≦x≦t+2)について、次のそれぞれの場合における最小値を求めよ。(1)t<1 (2)t=0 (3) 0 <taを実数の定数とする。0≦x≦2における2次関数y=x2-2ax+a2+1について、次のそれぞれの場合における最大値を求めよ。(1)a<1 (2)a=1 (3) 1<a と tを実数の定数とする。2次関数 y=-x2+2x-3(t≦x≦t+2)について、次のそれぞれの場合における最小値を求めよ。(1)t<1 (2)t=0 (3) 0 <t

において
最大値・最小値を求めるときの場合分けのグラフについてですね。

【解説】

グラフをかくときのポイントは、軸と定義域の位置関係をしっかりとつかむことが大切です。 上の問題では、
(1)a<1           (2)a=1           (3)1<a
という3つに場合分けします。
そして、問題文にある2次関数の式y=x2-2ax+a2+1を平方完成すると、
y=(x-a)2+1となることから、軸の方程式はx=aとなります。また、定義域は0≦x≦2ですね。
つまり、問題文の場合分けのポイントになっている「1」という数字ですが、
これは定義域0≦x≦2の中央の値になっています。
このことから、問題文の場合分けを言葉で表現すると、
(1)a<1 →軸が定義域の中央よりも左にある
(2)a=1 →軸が定義域の中央
(3)1<a →軸が定義域の中央よりも右にある
ことになります。よって、このようなグラフをかくと、

となるのです。これより、最大となるxの値は、

  1. (1) 定義域の右端のx=2のとき
  2. (2) 定義域の両端の、x=0,x=2のとき
  3. (3) 定義域の左端のx=0のとき

となることがわかるのです。

今回の回答を参考にして、まずは、軸と定義域の位置関係を考え、グラフがどのようになるかを考えてみてください。

【アドバイス】

このような場合分けをするときのポイントは、軸と定義域の位置関係になります。
2次関数のグラフの形(上に凸か下に凸か)や、最大値を求めるときと最小値を求めるときで、場合分けの仕方が異なります。
それぞれの場合で、どのように場合分けすればよいかを、問題演習を繰り返すことで、正しく理解しておきましょう。

では、今後も『進研ゼミ高校講座』を活用して、得点アップをめざしましょう!

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