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【2次関数】文字定数の場合分けでの,<と≦の使い分け

文字定数の場合分けでの,<と≦の使い分け

文字を含む2次関数の最大値や最小値を求める問題で,場合分けの仕方を決めるとき,1≦a≦3,3<aとしたらよいか,1≦a<3,3≦a としたらいいのか,わかりません。どんな基準で場合分けをしたらいいですか。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】
aa≧1 の定数とする。関数 yx2 − 2ax + 4 (1≦x≦3) の最小値をm とするとき,ma の式で表せ。

上の問題で,場合分けの仕方を決めるとき,1≦a3,3aとしたらいいか,1≦a3,3a としたらいいのか,わかりません。どんな基準で場合分けをしたらいいですか。
というご質問ですね。

【解説】

2次関数の最大値・最小値を求める問題では,「グラフ」と「定義域」の位置関係を調べることが定石です。
しかし,「グラフ」と「定義域」のどちらかに文字が入ったとき,最大値・最小値が1つの式では表せないことがあります。
そのようなときに,次の問題のように,場合分けをしますが,範囲に「ヌケモレ」がなければ,模範解答と≦,<が違っていても,正解と考えてOKです。

【問題】
aa≧1 の定数とする。関数 yx2 − 2ax + 4 (1≦x≦3) の最小値をm とするとき,ma の式で表せ。

まず,この問題の解答を確認しましょう。

【解答】

y =x^2-2ax+4 =(x-a)^2-a^2+4 y =x^2-2ax+4 =(x-a)^2-a^2+4

したがって,このグラフは,下に凸の放物線で,軸の方程式はxaである。

(ⅰ) 1≦a<3のとき
グラフは図のようになるので,xaのとき,最小となる。

よって,最小値mは,

m=a^2-2a⋅a+4=a^2-2a^2+4=-a^2+4 m=a^2-2a⋅a+4=a^2-2a^2+4=-a^2+4

(ⅱ) 3≦aのとき
グラフは図のようになるので,x=3のとき,最小となる。

よって,最小値は,

m=3^2-2a⋅3+4=9-6a+4=-6a+13 m=3^2-2a⋅3+4=9-6a+4=-6a+13

(ⅰ),(ⅱ) より,

1≦a<3のとき,m=-a^2+4 3≦a のとき,m=-6a+13 1≦a<3のとき,m=-a^2+4 3≦a のとき,m=-6a+13

≪場合分けのポイント≫
気をつけるポイントは,
範囲に「ヌケモレ」がないか
の1点です。これらをクリアできるように,<と≦を使い分けて場合分けの範囲を決めればよいのです。
基本的には,この条件を満たしていれば,<と≦は,自分の都合のいいように決めることができます。
上の解答の場合分けを見ると,1≦a<33≦aとなり,ヌケモレはありませんね。

では,この場合分けのa<33≦a の部分を,a3,3a としてもよいかどうか,見ていきましょう。
まず,(ⅰ) と (ⅱ) の境目であるa=3に注目してみましょう。
(ⅰ),(ⅱ) の最小値に,a=3を代入してみると,

(ⅰ) m =−32 +4=−9+4=−5

(ⅱ)  m =(−6)・3 +13=−18+13=−5

となり,どちらも同じ値になります。つまり,a=3は (ⅰ),(ⅱ) のどちらの場合分けの範囲に入れてもよいので,

(ⅰ) 1≦a3 のとき

(ⅱ) 3aのとき 

と場合分けしてもよいことがわかります。すなわち,
1≦a≦3 のとき,m =−a2 +4
3<a のとき,m =−6a +13

としても正解,と言えるのです。

【アドバイス】

場合分けは,「ヌケモレ」がなければ,模範解答と≦,<が違っていても,正解と考えて大丈夫です。
問題を解いたあと,きちんと範囲にヌケモレがないか,見直しをするようにしましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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