【２次関数】文字定数の場合分けでの，＜と≦の使い分け

【質問の確認】

上の問題で，場合分けの仕方を決めるとき，1≦a≦3，3＜aとしたらいいか，1≦a＜3，3≦a としたらいいのか，わかりません。どんな基準で場合分けをしたらいいですか。
というご質問ですね。

【解説】

２次関数の最大値・最小値を求める問題では，「グラフ」と「定義域」の位置関係を調べることが定石です。
しかし，「グラフ」と「定義域」のどちらかに文字が入ったとき，最大値・最小値が１つの式では表せないことがあります。
そのようなときに，次の問題のように，場合分けをしますが，範囲に「ヌケモレ」がなければ，模範解答と≦，＜が違っていても，正解と考えてOKです。

まず，この問題の解答を確認しましょう。

【解答】

したがって，このグラフは，下に凸の放物線で，軸の方程式はx＝aである。

(ⅰ) 1≦a<3のとき
グラフは図のようになるので，x＝aのとき，最小となる。

よって，最小値mは，

(ⅱ) 3≦aのとき
グラフは図のようになるので，x＝3のとき，最小となる。

よって，最小値は，

(ⅰ)，(ⅱ) より，

≪場合分けのポイント≫
気をつけるポイントは，
範囲に「ヌケモレ」がないか
の１点です。これらをクリアできるように，＜と≦を使い分けて場合分けの範囲を決めればよいのです。
基本的には，この条件を満たしていれば，＜と≦は，自分の都合のいいように決めることができます。
上の解答の場合分けを見ると，1≦a＜3，3≦aとなり，ヌケモレはありませんね。

では，この場合分けのa＜3，3≦a の部分を，a≦3，3＜a としてもよいかどうか，見ていきましょう。
まず，(ⅰ) と (ⅱ) の境目であるa＝3に注目してみましょう。
(ⅰ)，(ⅱ) の最小値に，a＝3を代入してみると，

(ⅰ) m ＝−3² ＋4＝−9＋4＝−5

(ⅱ)  m ＝（−6）・3 ＋13＝−18＋13＝−5

となり，どちらも同じ値になります。つまり，a＝3は (ⅰ)，(ⅱ) のどちらの場合分けの範囲に入れてもよいので，

(ⅰ) 1≦a≦3 のとき

(ⅱ) 3＜aのとき　

と場合分けしてもよいことがわかります。すなわち，
1≦a≦3　のとき，m ＝−a² ＋4
3＜a のとき，m ＝−6a ＋13

としても正解，と言えるのです。

【アドバイス】

場合分けは，「ヌケモレ」がなければ，模範解答と≦，＜が違っていても，正解と考えて大丈夫です。
問題を解いたあと，きちんと範囲にヌケモレがないか，見直しをするようにしましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。