【式と証明】相加平均，相乗平均

【質問の確認】

相加平均，相乗平均ってそもそも何ですか？　「平均」なんですか？　どうして証明に使っているのですか？　式の説明をしてほしいです。
というご質問ですね。

【解説】

≪そもそも相加平均，相乗平均とは？≫
【相加平均】
相加平均は，，つまり，足し合わせたときの平均です。普段，テストの平均点を出すときなどに使っている「平均」と同じです。

【相乗平均】
相乗平均とは，a>0，b>0のとき，つまり，掛け合わせたときの平均です。見慣れない平均ですが，経済学などに使われます。
a>0，b>0という条件がつくのは，ルートの中は正になるという約束があるためです。

≪相加平均と相乗平均の大小関係≫
この２種類の「平均」の大きさを比べると，常に，（相加平均）≧（相乗平均）となります。
これが，「相加平均と相乗平均の大小関係」です。
a≠b のとき，（相加平均）>（相乗平均）･･････①

a=bのとき，（相加平均）＝（相乗平均）･･････②
①と②を合わせて，（相加平均）≧（相乗平均）となります。
さて，この①と②の関係が本当に成り立つかどうかを見てみましょう。

【a ≠ b のとき，（相加平均）>（相乗平均）･･････①の例】
例えば，a = 3，b = 12 のとき，
相加平均は， 　相乗平均は，

したがって，7.5 > 6 となるので，①の（相加平均）>（相乗平均）が成り立ちます。

【a = b のとき，（相加平均）＝（相乗平均）･･････②の例】
a = 4，b = 4 のとき，
相加平均は，　　相乗平均は，
したがって，4 = 4 となるので，②の（相加平均）=（相乗平均）が成り立ちます。

このように，常に，（相加平均）≧（相乗平均）となるのです。

◎まとめ

◆a，bが正の数であれば，常に，（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立ちます。
つまり，

の式が成り立ちます。また，この両辺に２を掛けると，

となります。★，☆のどちらの形も覚えておきましょう。

◆【②の例】のように， において，＝が成り立つのは，a = b のときです。これを証明すると，

したがって，＝が成り立つのは，a = b のときだとわかりますね。
この「相加平均，相乗平均の大小関係」は，a > 0，b > 0 のときに，「常に」成り立つので，不等式の証明では，「証明の道具」として使うことができるのです。

◆相加平均と相乗平均の大小関係は，a，b がともに正の数(a > 0，b > 0)でなければ成り立つとは言えません。そこで，これを使うときは，必ず，a，b がa > 0，b > 0であることを確認して使うようにしましょう。

【アドバイス】

「相加平均と相乗平均の大小関係」を使うと楽に証明できる場合もあるので，便利な「証明の道具」として使えるようにしておくとよいでしょう。ただし，「相加平均と相乗平均の大小関係」が使えるのは，a，b が a>0，b>0がである場合だけであることに注意しましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。