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【式と証明】複雑な式の因数分解

複雑な式の因数分解

x^3＋xy−y-1のような複雑な式の因数分解はどうやればいいですか？

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

x3+xy-y-1のような複雑な式の因数分解はどうやればいいですか？
というご質問ですね。

【解説】

複雑な式でも，文字が１種類のときの因数分解と同じ手順で，
　①共通因数をくくり出す。
　②公式を使う。
が基本です。

しかし，これだけでは因数分解するときの糸口が見えないときもあります。
そんなときには，以下の方法も用いて因数分解していきましょう。

複雑な式の因数分解　③次数が低い文字に着目し，式を整理する。　④「同じ文字の並び」を1つのカタマリとみる。（式の一部を他の文字に置き換える。）

①②のときは，①→②の順番で行いますが，③④には決まった順番はありません。２種類以上の文字の式の場合は，①〜④の順番は考えず，式の特徴から判断し，使えそうな手順を選んでいきましょう。

では，上の手順を利用して，実際に，を因数分解してみましょう。

x3+xy-y-1 ←①②だけでは因数分解が進められない。そこで，③次数が低い文字yに着目して，yで整理する。（yだけの式と見て，xは数字と同じように扱うとよい。）　=y(x-1)+x3-1 ←x3-1に着目して，②公式　x3-1=(x-1)(x2+x+1)を使う。y(x-1)+(x-1)(x2+x+1)　←①共通因数(x-1)をくくり出す。　=(x-1)(x2+x+1+y)　←これ以上因数分解できないので，これで終了!

今回の因数分解では，④の方法は利用していませんが，例えば，(a+b)(a+b-2)-15を因数分解するときには④を利用することが有効です。
実際に(a+b)(a+b-2)-15を因数分解してみましょう。「同じ文字の並び」であるa+bを1つのカタマリとみて，a+b=Xで置き換えます。すると，Xの2次式にでき，次のように計算できます。

(a+b)(a+b-2)-15=X(X-2)-15=X^2-2X-15=(X+3)(X-5)=(a+b+3)(a+b-5)

【アドバイス】

因数分解は今後いろいろなところで使うので，ここでしっかり習得してください。式の特徴から判断し，①〜④の手順の中から使えそうな手順を選んでいきましょう。数多くの問題を解くことにより，よりよい手順を速く選べるようになるので，頑張ってください。

それでは，これで回答を終わります。

これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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  • 2016年2月時点。
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    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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